�1.
����������� �������� ��������� ������
����������
��������� ��'����� ���� Gr = (V,E) �
�������� ������ V � �������� ����� E. ��� �������� ���� ������ x,yÎV ��������� ����� d(x,y) ������� ������������ ����� �� x �� y.
��� �������� ������� xÎV, ��������� AÍV �
����'������ ������ ����� m ���������
��������
���������� ��������� AÍV ���������� ��������
����'���� ���� ����� m, ���� �� V=B(A,m). ������ ��������� A ��������� ����� ind A.
³������
dist(A,B) �� ����������� �����������
�, � ������� ������ V
��������� �� ��������
���������,
�� ind A=dist(A,V) ��� ����-���
���������� ��������� AÍV.
��������
�������� ������� ������ V �� ��������� ��������� ���������� ������������
������ �������� ��������.
��������
�������� ������� X, |X|=n �� r �������� (1£ r £ n, n=rs+t, 0 £ t < r)
���������� ������������, ���� ���� ���� ��������� X1, X2, �, Xr� �������� ��������, ��� ���
|X1|=|X2|=
�= |Xt| = s+1,� |Xt+1|
= |Xt+2| =�= |Xr| = s
�������,
���� r - ������ ����� n, �� ����������� �������� X - �� �������� X �� r ������, �� �����
�������� ������� ��������.
��������������
���� � ��� �������� � ����������� ��������㳿. ������������� ������� X r ��������� - �� ������� �����������
"��" c: X�{1,2,¼,r}. �����
���� ������������� ������� �������� c -1(1)È c -1(2)È ï¿½Èc -1(r) ������� X �� ���������
���������. � ������ ����, ����� �������� X=X1ÈX2È�ÈXr ������� X �� ��������� ��������� �����������
�������������� c , ��
����������� �� ��������: c(x)=k ��� �
����� ���, ���� xÎXk. ������������� c: X�{1,2,¼,r} ������� ������������, ����
�������� �������� X=c -1(1)Èc-1(2)È ï¿½Èc -1(r) � ������������.
��������
������� V ������ ����� Gr = (V,E) �� r �������� �� ������ £ m ��� � ����� ���, ���� ���
������������� c: V�{1,2,¼,r}, ��
������� ����� ��������, ����� ���� B(x,m),
xÎV
������ ����� ��� r �������.
�������� ������������� ���������� ������ ���������� ��������.
������� 1.1. ��� ����-���� ����������� ����� r,
n, r £ n �
��������� ��'������ ����� Gr = (V,E), |V|=n ����
�������� ������� £ï¿½ r-1 ������� ������ V
�� r ��������.
���������. ��������� �� ����� n ��������,
�� ���� ������������� c: V�{1,2,¼,r}, ����
���
��� ����-���� xÎV, kÎ{0,1,�,r-1}. ������� ������� �
����� ���������� ��� k=r-1.
��������� �� ������ ������� ���� ���� ������� � �������, �� Gr = (V,E) �
�������. ��� n=1 ���������� ��������.
���� r=n, �� ����� ������� �������
������������� c: V�{1,2,¼,r}.
����������, �� r<n, n>1 �
��������� ����-��� ������ ������� y
������ Gr = (V,E). ��� B(y,1)={y,z}, �� z - ����� ������ � y
������� ������ Gr = (V,E).
���������� ���� Gr1(V1,E1), �� V1=V \ {y}, E1=E \ {(y,z)}.
��������� ����� B1(x,k)
���� ������ k � ����� Gr1(V1,E1) � ������� � ����� xÎV1. ������� ���� Gr1(V1,E1)
��'����� � |V1|=n-1, �� ��
����������� �������� ���� ������������� c1: V1�{1,2,¼,r}, ����
��
��� ��� xÎV1, kÎ{0,1,�,r-1}. ���������, �� �� ��������
����������� ����� mÎ{0,1,�,r-2} ��� �����
. ��� �������� ������� ����� sÎ{0,1,�,r}, ���� ��
. ��������� c(y)=s �� c(x)=c1(x) ��� ��� xÎV1. ������� B(z,k)ÍB(y,k+1), ��
����
��� kÎ{0,1,�,r-1}.
��������� ������� 1.1.
���������� ���� Grn(Vn,En), n³ 2, �� Vn={x1, x2,
�, xn}, En={(x1, x2), (x1, x3),�, (x1,
xn)}. ���� ���� ��� 2-�������������� c1 , c2 ��������
Vn, �� ����� ������ 1, �
����
c1(x1)=1, c1(x2)=c1(x3)=�=c1(xn)=2;
c2(x1)=2, c2(x2)=c2(x3)=�=c2(xn)=1.
��������� ���� n>3, ��
�� ������������� �������������. ����, ��� n>3
� r=2 �� ���� ������������
������������ ������� r-1 ������� cn.
��������� � ��'���� � ��� ��������� ������ ������� ��� ��������
������ ������� 1.1 ��� ������������ ��������.
��������� ������� 1.2. ���
����-���� ����������� ����� r, n, r£ n � ��������� ��'������ ����� Gr(V,E), |V|=n ���� �����������
�������� ������� £ r
������� ������ V �� r ��������.
��������� ��� ��������� ���� ������� ��������� ���� ��������� �
�������� ����������.
��������� �������� ������ Gr(V,E),
|V|>2 ���������� ����� � ������� xÎV, ���� x �� � ������� �������� ������ � ����-�� ��� ����������� �����
�� x �� ����� ������� ������ ��
����� ������� �����. ����� ����� ���� x=x0,
x1,�,xk ������� ������ ���� � �������� ������ {x0, x1,�,xk}
� �������� ����� {(x0, x1),
(x1, x2),�, (xk-1, xk)}. ����� k ���������� �������� �������, � x0 � x1 - ���� �������� � �����. ����� �����, ����� ���� �
��'�������� ��������, �� �������� � ������. ������� ���� ����������
����������� ������� �� ��������.
��������� ���� 1.1. �����
- r ���������� �����, r>2, Gr(V,E) - ���� � ������� x � ������ ��������� R1, R2, R3
������ r1, r2, r3,
������� �iÎ{1, 2, 3}. ��� ���� ����������� r-�������������
������� £ r
������� ������ V, ���� �� �� �������
��� ������ �����������
������� ��� r �������.
��������� ���������.
���������� ��� �����������, �� r1³ r2³ r3. �������� ������� �������� R1,
R2, R3 � ������� �� ������������ �� ������� �������
�� ���� ����
.
��������� ���� r=2, �� r1=r2=r3=1
� ����-��� ����������� 2-������������� �� ������ 2.
��������� ����������, �� r>2,
r=3r'+j, 0£ j<3.
������ ����� r � ������ ���� r = a+b+c, a³ b³ c=r'.
��������� ���������� ������������ r ������
� ��������� ��
��������� {1,2,..r} ���� �������.
������� r'+1 £ï¿½ï¿½ï¿½ r/3 + 1, �� �� ������� ��� ������ x ��� ����������� ������� ��� r �������. ��� ���� ��� ���������� ��
�������� ������������� c �� ��� ������� ������ V
���������� ��� �������.
��������� ������� . �� ����������� ������� ����
�������� � ������ �������
�� ��������� ��� ��������� ����� �������,
��������� � ������� a+b+1. �������,
���� i-�� ����� v ���� ������������
����������� �� ��������
��������� �������������� ������������� c ��������. ³������ ������� ������� vÎV. ���� v - ������� ����� R1ÈR2, �� �� ���������� c ��
������� £ r-1 �� v ����������� ������� ����� R1ÈR2 ��� r �������. ���� � v - ������� ������� R3, �� d(v,x)<2/3´ r, � �� ������� ��� x ���������� ����� ��� r �������. �� � ������, �� ������
������������� c �� �������� r.
��������� ������� . ���������� ������������� c �� �������
xa, �xa+1 ,
�, xa+b-1, yb+1, yb+2,�, yb+c, zc+1, zc+2,�, zc+a
�� ����� ��������
c(xa)=c(y1), c(xa+1)=c(y2),�,c(xa+b-1)=c(yb),
c(yb+1)=c(z1), c(yb+2)=c(z2),�,c(yb+c)=c(zc),
c(zc+1)=c(x), c(zc+2)=c(x1),�,c(zc+a)=c(xa-1),
��������� ����� �����, ������������ 2r ������ ����, ������� ����� ��
r ������� ����������� ����.
��������� �����, �� ��� �������
��������
a+b+r-r1,��
b+c+r-r2+1,�� a+c+r-r3
�������������
�������������� ������. ��������� ������������� �� ����� ��������
c(xa+b)=c(),� c(xa+b+1)=c(
),�,c(
)=c(zc),
c(yb+c+1)=c(), c(yb+c+2)=c(
),�,c(
)=c(xa),
c(zc+a+1)=c(), c(zc+a+2)=c(
),�,c(
)=c(yb),
��������� ������� �� ���������� ���� ������������� ����� ����
����������� �� ����� ������ ����, �� ������������� c �����������. ������� �� ������� £ r ��
������� ���� �������� R1, R2,
R3 ����������� ������� ��� r
�������, �� ������ ������������� c �� �������� r.
��������� ���� 1.2. ����� r - ���������� ����� ³ 2, Gr(V,E) - ���� � ������� x ������ £ r-1, ��
������ ��������� ��� ������� ������� ³ r/2. ���
���� ������������ r-������������� ������� £ r
������� V.
��������� ���������. �����
R1, R2,�, Rt� - ������� ������� ³ r/2, Rt+1, Rt+2,�, Rs - ������� �������
< r/2,
Gr(V,E) = R1ÈR2È�ÈRtÈRt+1È�ÈRs.
����������� ��� �������
������������� ������� V � ���������
�� ������� ����� t.
��������� ���� ����� t
�����, ���������� ������� ������ R1ÈR2 �����������
������������ ������� � ������� �� ������������ �� ���� ������� R1 �� ���� ������� R2. ���������� ���������
����� �� �������� �� ������� ������ R3ÈR4, ����������� ���
������������� ����� x � �. �. ����,
���������� ������� ������������ ���� ��� ������������ ������� ������ R1ÈR2È�ÈRt. ���������� �� ��������� �������� ������ �� ����� ������ ���� Gr(V,E) � �������� ����� ������������� x1,x2,�,xn
������� V. ��������� ������� x1,x2,�,xn
��������� {1,2,�,r} ���� ������� �� ��������
c(x1)=1, c(x2)=2,�, c(xr)=r, c(xr+1)=1,�,c(xn)=1+(n-1)mod r.
��������� ��������, �� ������������� c �����������. ³������ ������� ������� vÎV. ���� v - ������� ������ � ������ R1ÈR2, R3ÈR4,�, Rt-1ÈRt, �� � ����������
����� �� ������� £ r ��
������� v ����������� ������� ��� r �������. ���� � v - ������� ������ � �������� Rt+1,
Rt+2,�, Rs , �� d(v,x)<r/2,
� � ����� R1ÈR2 �� ������� £ r/2 �� ������ x ����� �������� ������� ��� r �������. �� � ������, �� ������
������������� c �� �������� r.
��������� ���� ����� t
�������, ��������� ������� ���� R1ÈR2ÈR3 ����� � ����� 1.1. ��������� ����� m
����� ������ ���� R1ÈR2ÈR3, m=ra+b, 0£b<r. ������� ��������� �������,
����� �������, �� ������� {1,2,�,b}
����������� a+1 ����, � ������� {b+1, b+2,�,r} ����������� a ����. ��������� � ������� (b+1) mod r, ���������� �� �������������
�� V ����� �� �����, �� � � �������
������� ����� t. ³������ �������
������� vÎV. ���� v - ������� ������ � ������ R1ÈR2ÈR3, R4ÈR5,�, Rt-1ÈRt, �� � ����������
����� �� ������� £ r ��
������� v �������� ������� ��� r �������. ���� � v - ������� ������ � �������� Rt+1,
Rt+2,�, Rs , �� d(v,x)<r/2,
� �� ������� £ r/3 +1 �� x � ����� R1ÈR2ÈR3 ����� �������� �������
��� r �������. ����, ������
������������� �� �������� r.
��������� ��� ������������ ����� r>1 ������, �� �� ��������� r ������,
������� r-���������, ���� ���� ��������� ����-����� ���� ����� ���� � ���� � ����
��������� ����� �� ����� ��� r ������. ��������, �� �������� ����������
��'������ ����� ���������� ����������� ������� �� ���� ���������.
��������� ���� 1.3. � r-����������
����� Gr(V,E) ������� d³ r-1 ���������� ������� x, ���� ��������� ��� ������
����������� �� �������� � ������ ������ <r � ������� � ���.
��������� ���������. �������� ������� v0,vdÎ V, ��� �� d(v0,vd )=d. ����� v0,v1, �,vd� - ����������� ���� �� ������� v0 �� ������� vd. ��� ������� ����� iÎ{1,2,�,d} ��������� ����� Ti ������ � ������� vi, �������� ���������� � Gr(V,E) ����� (vi-1,vi). �������� ��������� ����� mÎ{1,2,�,d}, ���� �� ������ Tm �� <r ������. ��������� x=vm-1. ��� ����� ������� y, ������ � �������� x, ��������� ����� T(y) ������ � ������� y, �������� ���������� ����� (x,y). ���� yÏ{v0,v1, �,vd}, �� ����� ������ ������ T(y)� ����� ��� r � ���� r-���������� ����� Gr(V,E). �� � ���������� ����������� � ��� ����� ������� yÎ{v0,v1, �,vd} � ���� ������ ����� m � r-����������.
��������� ���� 1.4. ���
������� r-���������� ������ Gr(V,E) ���� ����������� r-������������� ������� ������ V, ������ ����� �� �������� r.
��������� ���������. ����
������
d ������ £ r, �� ����-��� r-�������������
������� ������ V �� ������ £ r. ��� d >r
�������� ������� x, �� ����������� ���� 1.3. ��������� ����� y1,y2,�,ys �� ������ � x ������� ������. ���������� ������ T(y1), T(y2),�,T(ys) � �������� y1,y2,�,ys, �������� ���������� ����� (y1,x),(y2,x),�,(ys,x). �
������� � ��� �������� �� ����� ������� zi, �� �������� �������� ��
������. ��������� ����� R1,R2 ,�,Rs� ������� ����� Gr(V,E), ��
������������ ������������ ������� �� x �� z1,z2,�,zs. ��� ���� S=R1ÈR2È�ÈRs � ����� ������ £ r-1.
��������� ����������, �� ����� �������� ���� S � ��������� ��� ������� ³ r/2. ��
����� 1.2 ���� ����������� r-������������� ������� £ r
������� ������ ���� S. ���������� ���� �������� ����� ��
������������� ������������� c ������� S. ³������ ������� ������� vÎV, v¹x � �������� �������� T(yi), ��������
����� � v. ������� ����� ������ ������ T(yi) ����� r, �� B(zi,r)ÍB(v,r).
������� ���� B(zi,r)
������ ����� ��� r ������� ���� S, �� ������������� c �� ������£ r.
��������� ����������, �� ���� ���� ������ ���� S,
������ R1, �� ������� ³ r/2. �����
�������� R2,R3,�,Rs �������� ������, ������ R2, �������� �������. ������� d > r, ��
���� R1ÈR2 �� ³ r ������. ���������� �� �
������� ������������ �� ���� ������� R2 �� ���� ������� R1 � ���������� �� ��������� �������� �������� ��
��� ������� V. ������������ ������������ x1,x2,�,xn ������ ������� V ���������� �� �������� c(xi )=1+(i-1) mod r.
�������������� ������������� c ��������.
³������ ������� ������� vÎV. ��
���������� ������������� c � ��� B(v,r)
�������� r �������������� ����� ����� R1ÈR2. ����, ������ ������������� c �� �������� r.
��������� ��� ��������� A ������� ������ ����� Gr(V,E)
��������� ����� Gr[A] ���� �
�������� ������ A � �������� ����� EÇ(A´A).
��������� ���� 1.5. ����� Gr(V,E) -
��������� ��'����� ����, r - ���������� ����� � ������� ������ V
������� �� ��������� V1,V2,�,Vk, ���, �� �� ����� Gr[V1],Gr[V2],�,Gr[Vk]
��'���� � ���������� ����������� r-������������� c1,c2,�,ck , ������ ���� �� �������� r. ��� ���� ����������� r-�������������
c �������� V, ������ ����� ��� �� �������� r.
��������� ���������. �����
. ������� ��������� �������, ����� �������, �� ci(xij)=1+(j-1)modr ��� ��� iÎ{1,2,�,k}, jÎ{1,2,�,mi}. �������� ������� ������� V � ������������
� ��� i-��
����� v ����
����������� ��������� c(v)=1+(i-1)mod r .
��������� ��������� �������
1.2. ��� r=1 ������� ��������. ����������, �� r>1. �� ������ ������� ���� ���� ������� � �������,
�� Gr(V,E) �- ������. ���������� ���������� �����
����'��� ������� V �� ��������� V1,V2,�,Vk ���, ��
Gr[V1],Gr[V2],�,Gr[Vk] - r-��������
������. ��������� ���� 1.4 � 1.5.
��������� ������� 1.2.
����� G - �������� ����� � �������� e, SÍG, |S|=r, S=S-1, eÎS. ���������� ���� ��� Cay(G) ����� G �
�������� ������ G � �������� ����� {(x,y): x,yÎG, x¹y, xy-1ÎS}. ��������� ������� 1.2 �� ����� ��'���� ����������
����� Cay(G), �
���� - ���� 1.5. �������� ���� ����������.
��������� ���� ����������� �������� ����� G=A1ÈA2È�ÈAr, ���� �� G=SrAi ��� ��� iÎ{1,2,�,r}.
��������� ���� S - ������� ����� G, �� ������� ���� �������� ����
������: ����� ���� ������� ���� ����� G �� �������� S
��������� ��������� {1,2,�,r} �
��������� ����� A1,A2,�,Ar ������������ ���������. ����, ������� 1.2 ����� ���������� �� ������
���� ������ ������� �������� ��� �������
����� �� ������ ����� �� ��������.
��������� � ��'���� � �������� 1.1 ������ ���� �������. �� �����
������� ������ ���������� ��'������ ����� ������� �� �������� ������� 1 ��
�����, �� ��������� ������ ����� ������� ������ �������? ��������, ��
��������� ������ ������� - �� ������� �����, �� �������� � ���� �������.
�������� �� �������. �� ��� ������� ������������ ����� r ���������� ���������� ����� f(r), ���� �� ����-���� ��������� ��'����� ���� �
���������� ��������� ������ ³ f(r) ����� ������������ r ��������� ���, �� ����� ����
������ 1 ������ ������� ��� r �������?
��������� ����� f(1), f(2)� ������������ �������� 1.1: f(1)=f(2)=1. ��������� ������� ������, �� ����� f(3) ������ �� ����.
��������� ������� 1.3. ��� ������� ������������ ����� m ��������� Xm={1,2,�,3m} � ��������� ����� Ym ��'� ��� m-�������� ������� Xm. ���������� ���� Grm � �������� ������ Vm = XmÈ Ym � �������� ����� Em, �� (x,y)ÎEm ��� � ����� ���, ���� xÎXm , yÎYm �� xÎy. ���������, �� ��������� ������ ����� ������� ����� Grm �� ������ �� m. ��������� ������� 3-������������� c: Vm → {1,2,3} . ������� |Xm=3m|, �� ���������� ������������� m-��������� � ������� Xm. �������, |c(B(y,1))|<3.