�1. ����������� �������� ��������� ������

 

 

���������� ��������� ��'����� ���� Gr = (V,E) � �������� ������ V � �������� ����� E. ��� �������� ���� ������ x,yÎV ��������� ����� d(x,y) ������� ������������ ����� �� x �� y. ��� �������� ������� xÎV, ��������� AÍV � ����'������ ������ ����� m ���������

�������� ���������� ��������� AÍV ���������� �������� ����'���� ���� ����� m, ���� �� V=B(A,m). ������ ��������� A ��������� ����� ind A.

³������ dist(A,B) �� ����������� ����������� �, � ������� ������ V ��������� �� ��������

���������, �� ind A=dist(A,V) ��� ����-��� ���������� ��������� AÍV.

�������� �������� ������� ������ V �� ��������� ��������� ���������� ������������ ������ �������� ��������.

�������� �������� ������� X, |X|=n �� r �������� (1£ r £ n, n=rs+t, 0 £ t < r) ���������� ������������, ���� ���� ���� ��������� X1, X2, �, Xr� �������� ��������, ��� ���

|X1|=|X2|= �= |Xt| = s+1,� |Xt+1| = |Xt+2| =�= |Xr| = s

�������, ���� r - ������ ����� n, �� ����������� �������� X - �� �������� X �� r ������, �� ����� �������� ������� ��������.

�������������� ���� � ��� �������� � ����������� ��������㳿. ������������� ������� X r ��������� - �� ������� ����������� "��" c: X�{1,2,¼,r}. ����� ���� ������������� ������� �������� c -1(1)È c -1(2)È ï¿½Èc -1(r) ������� X �� ��������� ���������. � ������ ����, ����� �������� X=X1ÈX2È�ÈXr ������� X �� ��������� ��������� ����������� �������������� c , �� ����������� �� ��������: c(x)=k ��� � ����� ���, ���� xÎXk. ������������� c: X�{1,2,¼,r} ������� ������������, ���� �������� �������� X=c -1(1)Èc-1(2)È ï¿½Èc -1(r) � ������������.

�������� ������� V ������ ����� Gr = (V,E) �� r �������� �� ������ £ m ��� � ����� ���, ���� ��� ������������� c: V�{1,2,¼,r}, �� ������� ����� ��������, ����� ���� B(x,m), xÎV ������ ����� ��� r �������. �������� ������������� ���������� ������ ���������� ��������.

������� 1.1. ��� ����-���� ����������� ����� r, n, r £ n � ��������� ��'������ ����� Gr = (V,E), |V|=n ���� �������� ������� £ï¿½ r-1 ������� ������ V �� r ��������.

���������. ��������� �� ����� n ��������, �� ���� ������������� c: V�{1,2,¼,r}, ���� ���

��� ����-���� xÎV, kÎ{0,1,�,r-1}. ������� ������� � ����� ���������� ��� k=r-1.

��������� �� ������ ������� ���� ���� ������� � �������, �� Gr = (V,E) � �������. ��� n=1 ���������� ��������. ���� r=n, �� ����� ������� ������� ������������� c: V�{1,2,¼,r}. ����������, �� r<n, n>1 � ��������� ����-��� ������ ������� y ������ Gr = (V,E). ��� B(y,1)={y,z}, �� z - ����� ������ � y ������� ������ Gr = (V,E). ���������� ���� Gr1(V1,E1), �� V1=V \ {y}, E1=E \ {(y,z)}. ��������� ����� B1(x,k) ���� ������ k � ����� Gr1(V1,E1) � ������� � ����� xÎV1. ������� ���� Gr1(V1,E1) ��'����� � |V1|=n-1, �� �� ����������� �������� ���� ������������� c1: V1�{1,2,¼,r}, ���� ��

��� ��� xÎV1, kÎ{0,1,�,r-1}. ���������, �� �� �������� ����������� ����� mÎ{0,1,�,r-2} ��� ����� . ��� �������� ������� ����� sÎ{0,1,�,r}, ���� �� . ��������� c(y)=s �� c(x)=c1(x) ��� ��� xÎV1. ������� B(z,k)ÍB(y,k+1), �� ���� ��� kÎ{0,1,�,r-1}.

��������� ������� 1.1. ���������� ���� Grn(Vn,En), n³ 2, �� Vn={x1, x2, �, xn}, En={(x1, x2), (x1, x3),�, (x1, xn)}. ���� ���� ��� 2-�������������� c1 , c2 �������� Vn, �� ����� ������ 1, � ����

c1(x1)=1, c1(x2)=c1(x3)=�=c1(xn)=2;

c2(x1)=2, c2(x2)=c2(x3)=�=c2(xn)=1.

��������� ���� n>3, �� �� ������������� �������������. ����, ��� n>3 � r=2 �� ���� ������������ ������������ ������� r-1 ������� cn.

��������� � ��'���� � ��� ��������� ������ ������� ��� �������� ������ ������� 1.1 ��� ������������ ��������.

��������� ������� 1.2. ��� ����-���� ����������� ����� r, n, r£ n � ��������� ��'������ ����� Gr(V,E), |V|=n ���� ����������� �������� ������� £ r ������� ������ V �� r ��������.

��������� ��� ��������� ���� ������� ��������� ���� ��������� � �������� ����������.

��������� �������� ������ Gr(V,E), |V|>2 ���������� ����� � ������� xÎV, ���� x �� � ������� �������� ������ � ����-�� ��� ����������� ����� �� x �� ����� ������� ������ �� ����� ������� �����. ����� ����� ���� x=x0, x1,�,xk ������� ������ ���� � �������� ������ {x0, x1,�,xk} � �������� ����� {(x0, x1), (x1, x2),�, (xk-1, xk)}. ����� k ���������� �������� �������, � x0 � x1 - ���� �������� � �����. ����� �����, ����� ���� � ��'�������� ��������, �� �������� � ������. ������� ���� ���������� ����������� ������� �� ��������.

��������� ���� 1.1. ����� - r ���������� �����, r>2, Gr(V,E) - ���� � ������� x � ������ ��������� R1, R2, R3 ������ r1, r2, r3, ������� �iÎ{1, 2, 3}. ��� ���� ����������� r-������������� ������� £ r ������� ������ V, ���� �� �� ������� ��� ������ ����������� ������� ��� r �������.

��������� ���������. ���������� ��� �����������, �� r1³ r2³ r3. �������� ������� �������� R1, R2, R3 � ������� �� ������������ �� ������� ������� �� ���� ����

.

��������� ���� r=2, �� r1=r2=r3=1 � ����-��� ����������� 2-������������� �� ������ 2.

��������� ����������, �� r>2, r=3r'+j, 0£ j<3. ������ ����� r � ������ ���� r = a+b+c, a³ b³ c=r'.

��������� ���������� ������������ r ������

� ��������� �� ��������� {1,2,..r} ���� �������. ������� r'+1 £ï¿½ï¿½ï¿½ r/3 + 1, �� �� ������� ��� ������ x ��� ����������� ������� ��� r �������. ��� ���� ��� ���������� �� �������� ������������� c �� ��� ������� ������ V ���������� ��� �������.

��������� ������� . �� ����������� ������� ���� �������� � ������ �������

�� ��������� ��� ��������� ����� �������, ��������� � ������� a+b+1. �������, ���� i-�� ����� v ���� ������������ ����������� �� ��������

��������� �������������� ������������� c ��������. ³������ ������� ������� vÎV. ���� v - ������� ����� R1ÈR2, �� �� ���������� c �� ������� £ r-1 �� v ����������� ������� ����� R1ÈR2 ��� r �������. ���� � v - ������� ������� R3, �� d(v,x)<2/3´ r, � �� ������� ��� x ���������� ����� ��� r �������. �� � ������, �� ������ ������������� c �� �������� r.

��������� ������� . ���������� ������������� c �� �������

xa, �xa+1 , �, xa+b-1, yb+1, yb+2,�, yb+c, zc+1, zc+2,�, zc+a

�� ����� ��������

c(xa)=c(y1), c(xa+1)=c(y2),�,c(xa+b-1)=c(yb),

c(yb+1)=c(z1), c(yb+2)=c(z2),�,c(yb+c)=c(zc),

c(zc+1)=c(x), c(zc+2)=c(x1),�,c(zc+a)=c(xa-1),

��������� ����� �����, ������������ 2r ������ ����, ������� ����� �� r ������� ����������� ����. ��������� �����, �� ��� ������� ��������

a+b+r-r1,�� b+c+r-r2+1,�� a+c+r-r3

������������� �������������� ������. ��������� ������������� �� ����� ��������

c(xa+b)=c(),� c(xa+b+1)=c(),�,c()=c(zc),

c(yb+c+1)=c(), c(yb+c+2)=c(),�,c()=c(xa),

c(zc+a+1)=c(), c(zc+a+2)=c(),�,c()=c(yb),

��������� ������� �� ���������� ���� ������������� ����� ���� ����������� �� ����� ������ ����, �� ������������� c �����������. ������� �� ������� £ r �� ������� ���� �������� R1, R2, R3 ����������� ������� ��� r �������, �� ������ ������������� c �� �������� r.

��������� ���� 1.2. ����� r - ���������� ����� ³ 2, Gr(V,E) - ���� � ������� x ������ £ r-1, �� ������ ��������� ��� ������� ������� ³ r/2. ��� ���� ������������ r-������������� ������� £ r ������� V.

��������� ���������. ����� R1, R2,�, Rt� - ������� ������� ³ r/2, Rt+1, Rt+2,�, Rs - ������� ������� < r/2,

Gr(V,E) = R1ÈR2È�ÈRtÈRt+1È�ÈRs.

����������� ��� ������� ������������� ������� V � ��������� �� ������� ����� t.

��������� ���� ����� t �����, ���������� ������� ������ R1ÈR2 ����������� ������������ ������� � ������� �� ������������ �� ���� ������� R1 �� ���� ������� R2. ���������� ��������� ����� �� �������� �� ������� ������ R3ÈR4, ����������� ��� ������������� ����� x � �. �. ����, ���������� ������� ������������ ���� ��� ������������ ������� ������ R1ÈR2È�ÈRt. ���������� �� ��������� �������� ������ �� ����� ������ ���� Gr(V,E) � �������� ����� ������������� x1,x2,�,xn ������� V. ��������� ������� x1,x2,�,xn ��������� {1,2,�,r} ���� ������� �� ��������

c(x1)=1, c(x2)=2,�, c(xr)=r, c(xr+1)=1,�,c(xn)=1+(n-1)mod r.

��������� ��������, �� ������������� c �����������. ³������ ������� ������� vÎV. ���� v - ������� ������ � ������ R1ÈR2, R3ÈR4,�, Rt-1ÈRt, �� � ���������� ����� �� ������� £ r �� ������� v ����������� ������� ��� r �������. ���� � v - ������� ������ � �������� Rt+1, Rt+2,�, Rs , �� d(v,x)<r/2, � � ����� R1ÈR2 �� ������� £ r/2 �� ������ x ����� �������� ������� ��� r �������. �� � ������, �� ������ ������������� c �� �������� r.

��������� ���� ����� t �������, ��������� ������� ���� R1ÈR2ÈR3 ����� � ����� 1.1. ��������� ����� m ����� ������ ���� R1ÈR2ÈR3, m=ra+b, 0£b<r. ������� ��������� �������, ����� �������, �� ������� {1,2,�,b} ����������� a+1 ����, � ������� {b+1, b+2,�,r} ����������� a ����. ��������� � ������� (b+1) mod r, ���������� �� ������������� �� V ����� �� �����, �� � � ������� ������� ����� t. ³������ ������� ������� vÎV. ���� v - ������� ������ � ������ R1ÈR2ÈR3, R4ÈR5,�, Rt-1ÈRt, �� � ���������� ����� �� ������� £ r �� ������� v �������� ������� ��� r �������. ���� � v - ������� ������ � �������� Rt+1, Rt+2,�, Rs , �� d(v,x)<r/2, � �� ������� £ r/3 +1 �� x � ����� R1ÈR2ÈR3 ����� �������� ������� ��� r �������. ����, ������ ������������� �� �������� r.

��������� ��� ������������ ����� r>1 ������, �� �� ��������� r ������, ������� r-���������, ���� ���� ��������� ����-����� ���� ����� ���� � ���� � ���� ��������� ����� �� ����� ��� r ������. ��������, �� �������� ���������� ��'������ ����� ���������� ����������� ������� �� ���� ���������.

��������� ���� 1.3. � r-���������� ����� Gr(V,E) ������� d³ r-1 ���������� ������� x, ���� ��������� ��� ������ ����������� �� �������� � ������ ������ <r � ������� � ���.

��������� ���������. �������� ������� v0,vdÎ V, ��� �� d(v0,vd )=d. ����� v0,v1, �,vd� - ����������� ���� �� ������� v0 �� ������� vd. ��� ������� ����� iÎ{1,2,�,d} ��������� ����� Ti ������ � ������� vi, �������� ���������� � Gr(V,E) ����� (vi-1,vi). �������� ��������� ����� mÎ{1,2,�,d}, ���� �� ������ Tm �� <r ������. ��������� x=vm-1. ��� ����� ������� y, ������ � �������� x, ��������� ����� T(y) ������ � ������� y, �������� ���������� ����� (x,y). ���� yÏ{v0,v1, �,vd}, �� ����� ������ ������ T(y)� ����� ��� r � ���� r-���������� ����� Gr(V,E). �� � ���������� ����������� � ��� ����� ������� yÎ{v0,v1, �,vd} � ���� ������ ����� m � r-����������.

��������� ���� 1.4. ��� ������� r-���������� ������ Gr(V,E) ���� ����������� r-������������� ������� ������ V, ������ ����� �� �������� r.

��������� ���������. ���� ������ d ������ £ r, �� ����-��� r-������������� ������� ������ V �� ������ £ r. ��� d >r �������� ������� x, �� ����������� ���� 1.3. ��������� ����� y1,y2,�,ys �� ������ � x ������� ������. ���������� ������ T(y1), T(y2),�,T(ys) � �������� y1,y2,�,ys, �������� ���������� ����� (y1,x),(y2,x),�,(ys,x). � ������� � ��� �������� �� ����� ������� zi, �� �������� �������� �� ������. ��������� ����� R1,R2 ,�,Rs� ������� ����� Gr(V,E), �� ������������ ������������ ������� �� x �� z1,z2,�,zs. ��� ���� S=R1ÈR2È�ÈRs � ����� ������ £ r-1.

��������� ����������, �� ����� �������� ���� S � ��������� ��� ������� ³ r/2. �� ����� 1.2 ���� ����������� r-������������� ������� £ r ������� ������ ���� S. ���������� ���� �������� ����� �� ������������� ������������� c ������� S. ³������ ������� ������� vÎV, v¹x � �������� �������� T(yi), �������� ����� � v. ������� ����� ������ ������ T(yi) ����� r, �� B(zi,r)ÍB(v,r). ������� ���� B(zi,r) ������ ����� ��� r ������� ���� S, �� ������������� c �� ������£ r.

��������� ����������, �� ���� ���� ������ ���� S, ������ R1, �� ������� ³ r/2. ����� �������� R2,R3,�,Rs �������� ������, ������ R2, �������� �������. ������� d > r, �� ���� R1ÈR2 �� ³ r ������. ���������� �� � ������� ������������ �� ���� ������� R2 �� ���� ������� R1 � ���������� �� ��������� �������� �������� �� ��� ������� V. ������������ ������������ x1,x2,�,xn ������ ������� V ���������� �� �������� c(xi )=1+(i-1) mod r. �������������� ������������� c ��������. ³������ ������� ������� vÎV. �� ���������� ������������� c � ��� B(v,r) �������� r �������������� ����� ����� R1ÈR2. ����, ������ ������������� c �� �������� r.

��������� ��� ��������� A ������� ������ ����� Gr(V,E) ��������� ����� Gr[A] ���� � �������� ������ A � �������� ����� EÇ(A´A).

��������� ���� 1.5. ����� Gr(V,E) - ��������� ��'����� ����, r - ���������� ����� � ������� ������ V ������� �� ��������� V1,V2,�,Vk, ���, �� �� ����� Gr[V1],Gr[V2],�,Gr[Vk] ��'���� � ���������� ����������� r-������������� c1,c2,�,ck , ������ ���� �� �������� r. ��� ���� ����������� r-������������� c �������� V, ������ ����� ��� �� �������� r.

��������� ���������. ����� . ������� ��������� �������, ����� �������, �� ci(xij)=1+(j-1)modr ��� ��� iÎ{1,2,�,k}, jÎ{1,2,�,mi}. �������� ������� ������� V � ������������

� ��� i-�� ����� v ���� ����������� ��������� c(v)=1+(i-1)mod r .

��������� ��������� ������� 1.2. ��� r=1 ������� ��������. ����������, �� r>1. �� ������ ������� ���� ���� ������� � �������, �� Gr(V,E) �- ������. ���������� ���������� ����� ����'��� ������� V �� ��������� V1,V2,�,Vk ���, �� Gr[V1],Gr[V2],�,Gr[Vk] - r-�������� ������. ��������� ���� 1.4 � 1.5.

��������� ������� 1.2. ����� G - �������� ����� � �������� e, SÍG, |S|=r, S=S-1, eÎS. ���������� ���� ��� Cay(G) ����� G � �������� ������ G � �������� ����� {(x,y): x,yÎG, x¹y, xy-1ÎS}. ��������� ������� 1.2 �� ����� ��'���� ���������� ����� Cay(G), � ���� - ���� 1.5. �������� ���� ����������.

��������� ���� ����������� �������� ����� G=A1ÈA2È�ÈAr, ���� �� G=SrAi ��� ��� iÎ{1,2,�,r}.

��������� ���� S - ������� ����� G, �� ������� ���� �������� ���� ������: ����� ���� ������� ���� ����� G �� �������� S ��������� ��������� {1,2,�,r} � ��������� ����� A1,A2,�,Ar ������������ ���������. ����, ������� 1.2 ����� ���������� �� ������ ���� ������ ������� �������� ��� ������� ����� �� ������ ����� �� ��������.

��������� � ��'���� � �������� 1.1 ������ ���� �������. �� ����� ������� ������ ���������� ��'������ ����� ������� �� �������� ������� 1 �� �����, �� ��������� ������ ����� ������� ������ �������? ��������, �� ��������� ������ ������� - �� ������� �����, �� �������� � ���� �������. �������� �� �������. �� ��� ������� ������������ ����� r ���������� ���������� ����� f(r), ���� �� ����-���� ��������� ��'����� ���� � ���������� ��������� ������ ³ f(r) ����� ������������ r ��������� ���, �� ����� ���� ������ 1 ������ ������� ��� r �������?

��������� ����� f(1), f(2)� ������������ �������� 1.1: f(1)=f(2)=1. ��������� ������� ������, �� ����� f(3) ������ �� ����.

��������� ������� 1.3. ��� ������� ������������ ����� m ��������� Xm={1,2,�,3m} � ��������� ����� Ym ��'� ��� m-�������� ������� Xm. ���������� ���� Grm � �������� ������ Vm = XmÈ Ym � �������� ����� Em, �� (x,y)ÎEm ��� � ����� ���, ���� xÎXm , yÎYm �� xÎy. ���������, �� ��������� ������ ����� ������� ����� Grm �� ������ �� m. ��������� ������� 3-������������� c: Vm → {1,2,3} . ������� |Xm=3m|, �� ���������� ������������� m-��������� � ������� Xm. �������, |c(B(y,1))|<3.