�3. �������������� �����

 

 

��������� ���� Gr(V,E) ���������� ������� s ���������� ���������������, ���� ���� ������������� c: V{0,1,¼,s}, ���� �� |c(B(x,1))|=s+1 ��� ����-����� xÎV. � ����� ��� ������������� c ��� ���������� ���������������. ����, �������������� ����� � �� �����, �� ���������� �������������� �������������. ���� ���������� ���������: ������������� c: V{0,1,¼,s} ���������� ���������������, ���� � ������ ��� ���������� ������ ���� ���� �������������� ������.

� ����� ���� ����������� �������������� ����� � �� �������� ����� ��������� �������, ����������� ��������� ������� �쒿 ��� ��������� ����.

���������� ���������� ��������������� ������ � �� ������������ ������������ �� ��������. ��� ����� a|b ������, �� ���� ����� a � �������� ������ ����� b.

���� 3.1. ����� Gr(V,E) � ��������� ��������������� ���� ������� s, c: V{0,1,¼,s} � �������������� �������������. ��� ���������� ��� ����������:

(i)                s+1/n;

(ii)              |c--1(0)|=|c--1(1)|=�=|c--1(s)|.

���������. ��� ������� iÎ{0,1,¼,s} ��� ���� {B(x,1): xÎc--1(i)} ������� �������� ������� ������ V. ������� |B(x,1)Çc--1(i)|=1 , ��

(s+1)|c--1(i)|=|V|.

� ���� ������ ���������� ������ ���������� ����.

������� 3.1. ����� Grn(Vn,En) � �������� ���� � n>2 ���������. ���������� �� Grn(Vn,En) ���������������. ������� Grn � ��������� ���� ������� 2, �� 3|n �� ����� 3.1(�). � ������ ����, ���� 3/n, �� ��������� 3-������������� ������� Vn � ���������������.

������� 3.2. ���������� ���� ���������� ������������� � ������� �� �������� ����� � ��������, �� ����� ��� ���������������� � ���� ��������, ��� �� ��������. ��������, �� ����� 4-������������� ������� ������ ��������� � ���������������. ��������� ������� ������� x ���� � ������� 4-������������� ��� B(x,1). ���, ����� ������� y' ����, ���������� �� ����� ������� yÎB(x,1) ������� ������ ���� ��������� �������� ������� y. �������� �������������� ������������� ����. ��������� ������������� ����������� ��������������� � ��� ���������. ������� ������� �� 6 ������ � � ��������� ������� 4, �� �� �� � ��������������� �� ����� 3.1(�). ������, ��������� � ��������� ������ ������� 3. ³������ �������� ����������, �� � ������ ����������. �������-����� 4-������������� ������� ������ ����������, ���������� ��������� �� ������������ ����� �� �������� �����. ����, �������� ���� � ������� � ����� ������� ����� ������ �� ������������ �������.

���� 3.2. ����� Gr(V,E) � �������� ��������� ���� ������� s, |V|=2m, XÍV. ����������, �� ������� �������� V=V(0)ÈV(1), |V(0)|=|V(1)|=m � ���������� ����� p, q, ��� ���� ����������� ��� �����:

(i)                È{B(x,1): xÎX} =V;

(ii)              (s+1)|X|=2m;

(iii)            s+1=p+q, p>q;

(iv)            ���� xÎV(i), iÎ{0,1}, �� |B(x,1)ÇV(i)|=p, |B(x,1)Ç(V\V(i)|=q.

��� |XÇV(0)|=|XÇV(1)|.

���������. ��������� k0=|XÇV(0)|, k1=|XÇV(1)|. � ���� (�), (�v) ���������� ��� ��������

pk0+qk1 ³ m,

qk0+pk1 ³ m.

������ �� �������� � �������� p|X|+q|X| ³ 2m. � ���� (��), (���) �������, �� (p+q)|X|=2m. ����, ����� k0, k1 ������������� ������� ������� ������.

px0+qx1 = m,

qx0+px1 = m.

������� p>q, �� ������� �� ������ ��������. � ������ ����, ������� �� ��������� �������� x0=x1=.

���� 3.3. ����� Gr(V,E) � ��������� ��������� ���� ������� s, |V|=nm, m, n � ���������� ����� ³ 2, XÍV. ����������, �� ������� �������� V=V(0)È V(1)ÈÈ V(n-1),|V(0)|=|V(1)|=�=|V(n-1)|=m� ���������� ����� p, q ��� ���� ����������� �����:

(i)                È {B(x,1): xÎX} =V;

(ii)              (s+1)|X|=nm;

(iii)            s+1=p+2q, p>2q;

(iv)            ���� xÎV(i), iÎ{0,1,..,n-1}, ��

B(x,1)Í V((i-1) mod n)È V(i mod n)È V((i+1) mod n),

|B(x,1)Ç V(i mod n)|=p,

|B(x,1)Ç V((i-1) mod n)|= |B(x,1)Ç V((i+1) mod n)|=q.

��� |XÇ V(0)|=|XÇ V(1)|=�=|XÇ V(n-1)|.

 

���������. ��������� ki=|XÇ V(i)|, iÎ{0,1,�,n-1}. � ���� (�), (�v) ���������� ��� ��������

pk0+qkn-1+qk1³ m,

pk1+qk0+qk2³ m,

��������..

pkn-2+qkn-3+qkn-1³ m,

pkn-1+qkn-2+qk0³ m.

������ �� �� �������� � �������� p|X|+2q|X|³ nm . � ���� (��), (���) �������, �� (p+2q)|X|=nm. ����� �������, �� ����� k0, k1,�, kn-1 ������������� ������� ������� ������

=.

�������, �� ��������� D ������� ������� � �����������. ���� D=f(e0) f(e1)�f(en-1), �� e0 , e1,�, en-1- ���������� ������ ������� zn=1, f(x)=p+qx+qxn-1. ������� p>2q, �� f(ei)¹ 0 ��� ��� iÎ{0,1,�,n-1}. ����, �� ������� �� ������ ��������.. � ������ ����, ������� �� ��������� ��������

x0=x1=�=xn-1=.

�������� ��������� ������������� ����� ��� �����. ���������� ���������� ��������� ����� G ��������� ����� <A> �������� ������� ����� G, �� ������ A. ����� G � ����� � �������� e, SÍG, S=S-1G=<S>. ������ ��� Cay(G,S) ����� G, ���������� �������� ������ S ���������� ���� � �������� ������ G � �������� ����� E, �� x,yÎE ��� � ����� ���, ���� x¹ yx-1yÎS. ���� ������� S �������� eÎS|S|-1=s, �� Cay(G,S) - ��������� ���� ������� s.

������� 3.3. �����

G=<a>´ <b>,�� <a>@ Z2,�� <b>@ Zm ,�� m>2,�� S={a,b,b-1,e}.

� ����������� ����� ���� ���� Cay(G,S) � ������� � 2m ���������. ����������, �� ���� Cay(G,S) ��������������� � ��������, �� 4|m. ������ (������� 3.6) �� �������� � �������� ����������.

��� ����, ��� ����������� ���� 3.2 ��������� s=3, p=3, q=1, V=G, <a>={0,1}, V(0)={(0,x): xÎ<b>}, V(1)={(1,x): xÎ<b>}. ��������� �������������� ������������� c: V{0,1,2,3} � ��������� Xi=c -1(i), iÎ{0,1,2,3}.�� ����� 3.2, |XiÇ V(0)|= |XiÇ V(1)| ��� ��� iÎ{0,1,2,3}. �� ����� 3.1(��), |Xi|= . ������� V(0)= (X0 Ç V(0))È (X1Ç V(0))È (X2Ç V(0))È (X3Ç V(0)) , �� 4|m.

������� 3.4. �����

G=<a>´ <b>,�� <a>@ Zn,�� <b>@ Zm ,n, m>2,�� S={a, a-1, b, b-1,e}.

����������, �� ���� Cay(G,S) ��������������� � ��������, �� 5|m, 5|n.

��� ����, ��� ����������� ���� 3.3 ���������

s=4, p=3, q=1, V=G, <a>={0,1,�,n-1}, V(i)={(i,x): xÎ<b>}, iÎ{0,1,�,n-1}. ��������� �������������� ������������� c: V{0,1,2,3,4} � ��������� Xj= c -1 (j), jÎ{0,1,2,3,4}. � ���� 3.3 �������

|Xj Ç V(0)|=|Xj Ç V(1)|=�=|Xj Ç V(n-1)|, jÎ{0,1,2,3,4}.

�� ����� 3.1(��), |Xj |=, jÎ{0,1,2,3,4}. ������� V(0)=, �� 5|m. ��������� ����������, �� 6|n.

������ ����� �������� ��������������� ������ �������� �� ������ ���������.

���������� ����� G � �������� e. ����� X, Y Í G. �� ���������� (X,Y) ���������� ��������������� �����, ���� ������� X �������� � ����������� ��� �����

(i)                eÎX, X=X-1, G=<X>;

(ii)              eÎY, G=XY;

(iii)            x-1XXx Ç YY-1=e ��� ��� xÎX.

� ���� (��), (���) �������, �� XX Ç YY-1={e}. ���������� ����� (��), ����� ������������, �� ����� ������� gÎG ���������� ������������ � ������� g=xy, xÎX, yÎY.

��� �������������� ���� (X,Y) ��������� ���������� ������������� c: GX �� ����� ��������. ��� ������� xÎX ��������� c(x)=x. ³������ �������� ������� gÎG � �������� xÎX, yÎY ���, �� g=xy. ��������� c(g)=x. ������������ � ����, �� ���������� ������������� ������� ������ ����� Cay(G,X) � ���������������.

����� g1,g2,g ÎG , g1,g2Î B(g,1) c(g1)=c(g2). ������������, �� g1=g2. �������� x1,x2ÎX , y1,y2ÎY ���, �� g1=x1y1, g2=x2y2.������� c(g1)=x1 , c(g2)=x2c(g1)=c(g2), �� x1=x2. ������� g1,g2Î B(g,1) , �� ������� �������� z1,z2ÎX, ��� �� g1=z1g, g2=z2 g. ����� �����, x1y1=z1g, x1y2=z2gz1-1 x1 y1=z2-1 x1 y2. ����� �������, �� x1-1 z2 z1-1 x1 =y2y1-1. � ����� (���) ��������� �������������� ���� �������, �� x1-1 z2 z1-1 x1 =e. ����,.z1=z2 g1=g2.

����� �����, �� ������ ���� ����������.

������� 3.1. ���� (X,Y) - �������������� ���� � ���� G, �� Cay(G,X) - ��������������� ����.

�������������� ���� (X,Y) ���������� ���������� �����, ���� Y - ������� ����� G. � ����� ������� ���� Cay(G,X) ���������� ���������� ������.

�� ��������� ������������� � ������� 3.5.

������� 3.2. ����� (X,Y) - �������������� ���� � ���� G, c - ���������� ������������� ����� G. ��� ��� ��� ���������� ����������

(�)��� (X,Y) - ��������� ����;

(��)�� ���� g1,g2 ÎG , xÎXc(g1)=c(g2), �� c(x g1)=c(x g2).

���������. (�)Þ(��). �������� y1,y2ÎYaÎX ���, �� g1=ay1, g2=ay2. ��� �������� z1,z2ÎYb1,b2ÎX ���, ��� ������������ ������ xg1=b1z1, xg2=b2z2. ��� z1=b1-1xay1, z2=b2-1xay2. ������� Y - ������� ����� G, �� b1-1xa ÎY , b2-1xa ÎY , b1-1b2ÎY. � ����� (���) ��������� �������������� ���� ������� b1=b2. ����, c(x g1)=c(x g2).

(��)Þ(�). ����� y1,y2ÎY . ��� c(y1)=c(y2)=c(e)=e. � ����� (��) �������, �� c (y1y2)=c (y1e)=e,c (y1-1y1)=c (e)=c (y1-1e)=c (y1-1). ����, y1y2ÎY , y1-1ÎY .

������� 3.5. ����� G=<a1>´<a2>´´<an>, <ai>@ Z2, iÎ{1,�,n}, S={e, x1,a2,�,an}. ����������, �� ��� Cay(G,S)� ��������������� ������. �� ����� 3.1(�), n+1|2n . � ������ ����, ���� n+1|2n , �� ���� ������� H ����� G, ���� �� ��'� {Sh: hÎH} � ��������� ����� G [2, �8.7]. �� ������� H ���������� ����� �������. ��������, �� (S,H)- ��������� ����, � ����, Cay(G,S) - ���������� ����.

������� 3.6. ����� G=<a>´<b>, <a>@ Z2, <b>@ Zm, m>2. ����������, �� 4|m � ��������, �� Cay(G,S) � ���������� ������, �� S={e, a, b, b-1}. ��������� H=<ab2>. ��� H=<b4>È{akb2k: kÎ{1,3,�,m-1}}. �������, (S,H) - ��������� ����.

������� 3.7. ����� G=<a>´<b>, <a>@ Z5, <b>@ Z5, S={e,a,a-1,b,b-1}. ��������, �� Cay(G,S) - ���������� ����. ��������� H=<a3b>. ��� H=<a3b, ab2 , a4b3, a2b4>S-1SÇH={e}, SH=G.

������� 3.8. ����� G=<a>´<b>, <a>@ Z, <b>@ Z, S={e,a,a-1,b,b-1}. ��������, �� Cay(G,S) - ���������� ����. �������, ��

SS={e,a,a-1,b,b-1, a2,b2, a-2, b-2, ab, a-1b-1 , a-1b, ab-1}

� ��������� H=<a2b2, a-2, b2>. ������������ �������� �� SH=G,SSÇH={e}.

���������, �� ��� ���� ����� ���������� �� ��������� ������ �� �������. ��������� ������������ �������������� ������������� ��� ��������� � ����������� ����� �� �������.

��������� ������ ����� �������� ��������������� ������ �� ����� ������ ��� Cay(G,S) ���� ��� ������ ���������� �� ������� ������ S.

���� 1. ����� G - ����� � �������� e, S - �������� ��������� �����, G=<S>, eÏS, S=S-1. ���������� �����, �� |S|=r(r-1) ��� ������� ������������ ����� r>1S �� ������ �������� ������� 2. �������� �������� S=S1ÈS2ÈÈSr, ���� �� |Si|=r-1, iÎ{1,2,�,r}i|Si-1 Ç Sj|=1��� ��� ����� ������� i,jÎ{1,2,�,r}. ��� ����� ����'��� ������� S=AÈ B ���, �� B=A-1. ���� �������� �������, ������� S �� ������ �������� ������� 2. �������� ������� �������� x1,x2,�,xr-1ÎA � ��������� S1={x1,x2,�,xr-1}. ³������� �������� x1-1,x2-1,�, xr-1-1 �� ��������� �������� S2, S3,, Sr.�������� ������� �������� y2, y3,, yr-1 ÎA\{x1,x2,�,xr-1}. ��������� S2={x1-1,y2,y3,�,yr-1} � �������� �������� y2-1, y3-1,, yr-1-1 �� ��������� �������� S3, S4, Sr. �������� ������� ��������

z3, z4, , zr-1 ÎA\{x1,x2,�, xr-1, y2, y3,, yr-1 },

��������� S3={x2-1,y2-1,z3,�,zr-1}, �������� �������� z3-1, z4-1, , zr-1-1 �� ��������� �������� S4, S5,, Sr � �. �.

���� 2. ���������� ����� G ������ � ���������� ����� ����� ����� ��� Cay(G,S)� ����� (x,y), x<y. ��������� ����� N ���������� ������� ����� ����� Cay(G,S) . ³������ ������� ������� W ��������� 2N, WÇG=Æ � �������� ��������� ���� Gr(GÈ W, E). ��� ������� ����� (x,y) ����� Cay(G,S) �������� ���� �������� z,tÎW � ������� ����� (x,y) �� ���� x,z,t,y. �������� ����� (x,zy), (z,t), (t,y) �� E. ��� �����, ���� (x,y) (x¢,y¢) ���� ����� ����� Cay(G,S)(x,y), (x¢,y¢) ������� ������� x,z,t,yx¢,z¢,t¢,y¢ �� {z,t}Ç{z¢,t¢}=Æ.

���� 3. ��������� ������������� c: WÈG{1,2,�,r} �� ����� ��������. ��������� c(g)=0 ��� ��� gÎG. ����� x,yÎG � ����� (x,y) ����� Cay(G,S) ������� �� ���� x,z,t,y. ��� x-1y=s, sÎG . �������� i,jÎ{1,2,�,r} ���, �� sÎSi , s-1ÎSj . ��������� c(z)=i , c(t)=j.

���� 4. ��� ������� xÎG � ������� iÎ{1,2,�,r} ���� ���� r-1 ������ z1, z2, , zr-1 ÎW, ��� ���� (x,z1), (x,z2), �, (x,zr-1)ÎEc(z1)=c(z2)= �=c(zr-1)=i. ������ �� ������� � ���� �������, � ����� (x,z1), (x,z2), �, (x,zr-1) - � ���� �����. ϳ��� ���� ������������ �� �������� ��������������� ����.

���������� ���� ���������� �����������, �� �������� ��������� ��� ���������� ��������������� ������.

����� Gr1(V1,E1), Gr2(V2,E2) - �������������� ����� ������� s>1, c1: V1{0,1,�,s}, c2: V2{0,1,�,s}- �� �������������� �������������. ³���������� f ������� V1 �� ������� V2 ���������� ��������������� �������������, ����

(i)c1 (x) = c2 (f(x)) ��� ��� xÎV1;

(ii) ���� (x,y)ÎE1, �� (f(x), f(y))ÎE2.

�������� ������ Tr(V,E) ������� s � ���������� ��������������� �������������� c: V{0,1,�,s} ������� ���� ������ ���������� ������ ��������������� ������� ������� s.

������� 3.3. ����� Tr(V,E) - ����� �������������� ������ ������� s � ��������������� �������������� c: V{0,1,�,s}, Gr1(V1,E1) - �������� ��������������� ���� ������� s � ��������������� �������������� c1: V1{0,1,�,s}. ��� ���� ��������������� ����������� f: VV1.

���������. ��������� ������� ������� x ÎV, yÎV1��� ���� c(x)=c1(y) � ��������� f(x)=y. ��� ������� ����'������ ������ ����� m ��������� Sm (x)={zÎV: d(x,z)=m}. ����������, �� ����������� f ��� ��������� �� ������� S0(x)È S1(x)ÈÈ Sm(x). ³������ ������� ������� zÎSm+1(x) � �������� ������� z'ÎSm(x) ���, ��d(z,z')=1. ��� �������� ������� tÎB(f(z'),1), ��� ��� c(z')=c1(t). ��������� f(z)=t. �� ��������� f - ��������������� �����������.

����� s - ���������� ����� >1, X={0,1,�,s}. �������������� ��������� KS(X) � ������ X - �� ���������, ��������� �������������� xx=x, xyx=x ��� ��� x,yÎX. ��������� KS(X) ������ ���������� �� ������� ��� ���������� ��� � ������ X ��� ������� xx, xyx ��� ��� x,yÎX.

��������, �� ��������� KS(X) 䳺 ����������� �� ������� ������ ������� ���������������� ����� Gr(V,E) ������� s � ��������������� �������������� c: V{0,1,�,s}. ³������ ������� xÎX, vÎV . �������� ������� uÎB(v,1), ��� ��� c(u)=x, � ��������� x(v)=u. ��� ���������� ���������� �� � ������� X �� KS(X)�� ����� ��������. ���� wÎKS(X), w=xw1 , w1ÎKS(X)vÎV, ��������� w(v)=x(w1(v)). ���������, �� ������������ ������� ������ �� ������������ ����� �� ������� v1ÎV �� ������� v2ÎV������� ����� wÎKS(X), ���� �� w(v1)=v2. ����� �������, �� ��������� �� �����������.

��� ������� xÎX ��������� KG(X,x) ��� ��� � KS(X), �� ����������� � ����������� ������ x, � �������� ��������� KS(X) � �������� x. ��� ���� ��� �������� ��������� ������� �� ����� wÎKG(X,x) ������ �������� �� ����� � ���������� �������. ������� KG(X,x) ��������������� ������.

��� ���������� ��������� ��������������� ���� �� �������� ������� �������� ����������.

��� ��������������� ����� uÎKS(X) ��������� ����� l (u) �� r (u)����� �� ������� ����� ����� u. ���� u=x1 x2�xn-1 xn, �� ��������� ����� ũ ����� xn xn-1 �x2 x1.

���� 3.4. ����� w1 w2ÎKS(X), l (w2) =r (w1), w=w1 w2 ��x1 x2�xn-1 xn�� - �������������� ����� ����� w. ��� ���������� ��� ����� uÎKS(X) ��� ����� k, ��

w1=x1 x2�xk-1 u,��� w2 =ũ xk+1xk+2�xn ,�� u ũ=xk .

���������. ������� l (w2) =r (w1), �� w1 =w1' x,w2 =x w2' ��� ����� ����� xÎX. ���� r (w1' ) ¹l (w2' ) �� ��������� u=x. ���� r (w1' ) =l (w2' ), �� w1' = w1'' y, w2'= y w2''��� ����� ����� yÎX. ��������� ���������� yxy=y � ������� ����� w1 ,w2������� w1' ,w2' . ������� �� ����� �������������, �� ����� ����������� �� ��� ���������� ���������.

��������, �� ������� s ��������� S ���������� ������������, ���� ss=s.

���� 3.5. ������������� ��������� KS(X) � �� ����� x, xy, �� x, yÎX, x¹y,� ����� ����.

���������. ��������, �� �� ����� x, xy � �������������. ����� w - �������� ���������� ��������� KS(X). ����������, �� l (w)=r (w). �� ����� 3.4

w=x1 x2�xk-1 u= ũ xk+1 �xn =x1 x2�xk xk+1 �xn ,

�� x1 x2�xn - �������������� ����� ����� w, u ũ=xk . ����� ������� ��

u= xk xk+1 �xn ,�� ũ =x1 x2�xk

����, u= xk xk-1 �x1w=x1 .

����������, �� l (w)¹r (w). ����� l (w)=x, w'=wx. ���

w'w'=wxwx=wwx=wx=w'.

����, w' -���������� � l (w')=r (w'). �� ��������� ���� w'=x. �������, w=xy ��� ������� yÎX.

������� 3.4. ����� KG(X,x) � ������ ������ � �������� ������ ������

W={xyzx: y,zÎX, x¹ y, x¹ z, y¹ z}.

���������. ��������, �� �������� ����� KG(X,x)x. �������� ��������, �� ����� ����������� ������� g ����� KG(X,x)����� �������� � ������ ������� �������� �� W. ���������, �� W=W-1. ��������, �� �������������� ����� �������� g ������������� �� ����������� x x1x2�xn x, n³2, x¹ xi, iÎ{1,�,n} � ����� ������� ���� ����� x1x2�xn���� ���������. ���

x x1x2�xn-1xnx=(x x1 x2 x)(x x2 x3 x)�(x xn-1 xn x).

³������ ������� ������������� ������� ����� w1 w2�wn , n³1� ������ � ��������, �� w1 w2�wn ¹ x. ��� ����� ��������� �� ����� n ��������, �� ������� ��� ����� � ��������������� ����� �����w1 w2�wn �� �������� ��������� KS(X) ���������� � ��������� ������ ������� ����� wn. ����� wn-1=xabx,wn=xcdx. �� ����������� ��������

w1 w2�wn-1 = x�abx.

���� c ¹ b, ��

w1 w2�wn-1 wn= x�abxcdx

� �� ����� �������������. ���� b=c, ��

w1 w2�wn-1 wn= x�acdx.

������� b=c, �� a¹c. ����, ���� a¹d, �� �� ����� �������������. � ������� a=d ����wn-1 = xdcxwn= wn-1 -1, �� ���������� ���������� ��� ���������������� w1 w2�wn-1 wn�� ��������� ����� � ������ W.

��� ����������� �������� xÎX, X={0,1,�,s} ��������� L(x)={yx: yÎX}, R(x)={xy: yÎX}.

������� 3.5. �������������� ��������� KS(X)��������� ������-������� L(x)´KG(X,x)´R(x), � ����� �������� ��������� �� ��������

(l1, g1, r1)(l2, g2, r2)=(l1, g1j (r1, l2) g2, r2),

�� j (r1, l2)=r1, l2 .

���������. ����� ������� x1 x2�xnÎKS(X) ����� �������� � ������

x1 x2�xn= x1 x ( x1 x2�xn) x xn= x1 x (x x1 x2�xnx) x xn .

��������� �����������f: KS(X) L(x)´KG(X,x)´R(x) �� ����� ��������

f (x1 x2�xn )=( x1 x, x x1 x2�xnx, x xn).

��� �������� �������� x1 x2�xn, y1 y2�ym ÎKS(X) ����

f (x1 x2�xn ) f(y1 y2�ym)=( x1 x, x x1 x2�xnx, x xn).

(y1 x, x y1 y2�ym x, xym)=( x1 x, x x1 �xnx j (x xn , y1 x) xy1 �ym x, xym)=

= f(x1 x2�xny1 y2�ym ).

����, ᳺ���� f � ������������ �� KS(X)�� L(x)´KG(X,x)´R(x).

���������� �������� ��������� ���� Gr(V,E) ������������ ������� k. �� �������� 2.3 ���� ������������� c: V k, ���� �� ����� ���� ���������� ������ ������ ����� ��� k �������. �� ������, �� ��������� ��������� ��������� ���������������� � ��������� ������ ���������� ������� �� �������� ����� ������������ ������� �����������. ���� �� �������� �������� ����.

��������� ���� Gr(V,E) ������������ ������� k ���������� ���������������, ���� ���� ������������� c: V k, ���� ��

(�) ����� �������� ���� ������ ����� ��� k �������;

(��) � ������ ��������� ��� ���� ���� �������������� �����.

������ 3.1. ������� ������� ���������� ����� ��������� �������, �� �� � ���������������.

�������� �������������� ��������������� ������ ��������� ������ ������������ ������� ���������� � ���� �������� ��������.

�������� 3.1. ����� X - ���������� ��������� ��������� k, Á - ����� ��'� �� �������� ��������� k, |Á|£ k. ������ �����, ��������� � �������� ��� ��������� ������������� c: V k, ������ �� ����� ��������� FÎ Á ������ � ����� ���� ����� ������� � k �������.