� 4. ��������� � �����������
������������
x1,x2,�,xk
����� ������ ��'������ ����� Gr(V,E)
���������� ����������, ����
d(x1,x2)£ 3, d(x2,x3)£ 3,�, d(xk-1,xk)£ 3, d(xk,x1)£ 3.
�
������� ���������� ��'������ ����� ���� ��������, �� ��������� ����� �����
���� �������. �� ���������� ������� � ���� ������� ��� ��������.
������� 4.1. ����� Gr(V,E) - ���������
��'����� ����, |V|=n, n³ 2. ���
�������� ������� ������ x,y ΠV ���� �������� x1,x2,�,xn
, ����� �� x=x1, y=xn .
���������. ������� � ����� Gr(V,E) �
�����, � ����� ������� x,y ���
������, ����� �������, �� Gr(V,E) -
������. ��������� �������� �� n. ���
n=2 ���������� ��������. ��������
���������� �������� � ���������� ��� �������.
������� 1. |B(x,1)|=2, ����� x - ������ ������� ������ � B(x,1)={x,y}. �������� ������� x � ����� (x,y). �������� ������ Gr'(V',E')
� �������� ������ V'=V\{x} � ��������
����� E'=E\{x,y}. �������� ������� z, ������ � �������� y � ����� Gr'(V',E') . �� ����������� �������� ���� �������� x2,x3,�,xn
� ����� Gr', ����� �� x2=z, xn=y. ��� x1,x2, x3,�,xn
- �������� � ����� Gr.
������� 2. |B(x,1)|>2. ���� |B(y,1)|=1, �� ������ ���� x,y ����� y,x �� ���������� � ������� �������. ����, ����� �������, �� |B(x,1)|>1, |B(y,1)|>1. ��������
����� (x,y) � �������� ��� ������ Gr1(V1,E1),
Gr2(V2,E2) � �������� x � y. ����� |V1|=k, |V2|=m.
������� k³ 2, m³ 2, �� ��
����������� �������� ������� ��������� x1,x2,�,xk� � y1,y2,�,xm� � ������� Gr1 � Gr2,
��� �� x1=x, ym=y
� (x1,xk)ÎE1, (y1,ym)ÎE2 . ������� ������� ��
xk �� y1 � ����� Gr �������
2, �� x1,x2,�,xk
, y1,y2,�,xm
- �������� ��� �������� � ����� Gr.
������ 4.1. ������� ������� ���������� ������ Gr(V,E),
��� ����� �� ���� ������������� x1,x2,�,xn
������� ������ V, ������ �� d(x1,x2)£ 2, d(x2,x3)£ 2,�, d(xn-1,xn)£ 2. �����, �� ���������� ������
������������� ���������� � ���������� ���������.
���������
������� 4.1 ��� �������� ������ �������� ������.
������� 4.2. ����� r,n - ���������� �����, r - ������ ����� n. ��� ������� ��'������ ����� Gr(V,E),
|V|=n ���� ����������� �������� V=V0
È V1 È�ÈVr-1� ���� ��
dist(V0,V1)£ 3, dist(V1,V2)£ 3,�, dist(Vr-2,Vr-1 )£ 3, dist(Vr-1, V0 )£ 3.
���������. ��� n=1 ���������� ��������. ���
n³ 2
������� ������� ������ ������� x,y.
�� �������� 4.1 ���� ᳺ���� f: V� {0,1,�,n-1}, ���� �� f(0)=x,�
f(n-1)=y � d(f(i),f(i+1))£ 3� ��� ��� iÎ {0,1,�,n-2}. ��� ������� ������� vÎV
��������� c(v)=f(v) mod r. ��������� V0=c -1(0), V1=c -1(1),�, Vr-1=c -1(r-1).
���������,
�� ������ ����� ��������� �������� � ������� 4.2 �� �������� 3r . ����, �������� � �������� 1.2,
������� 4.2 ��������� � ������ �������
��������, ��� ����� � ������ �������� �� �������� ����������� ��������.
������������
<xn>nÎw �����
������ ������������ ��'������ ����� ���������� ������������, ���� d(xn , xn+1)£ 3 ��� ��� nÎw . ����
Gr(V,E) ������� ��������������,
��������� qr-������, ���� ����
����������, �� ��������� ����� �� ������� ����� �����. ���� � ����������
��'������ �����, �� �������� 4.1, ���� ��������, �� ��������� ����� ��
�������, ������ �� ����� ����������� ��'����� ���� �� ����������, ��
��������� ����� �� ���� �������. �������������� ������������������ qr-�����
��������� � ���������� ���������. ���������� �� ��, ������� �����������
����������� ������ �������� ��� �������� �������� �������� �����������
��'����� ������. ������������ ������������ ����� ��������� � �������� ��
�������.
������� 4.3. ����� Gr(V,E) - ��������
��'����� ����. ��� ���� �������� A
������� ������ V �� �������� ���
������� ����� ��������, ���� �� ��� ����� ��������� AÎA
(�)
���� Gr[A] ��'�����;
(��)
���� Gr[A] � qr-������.
���������. ������� ����� ������� ���� �� �����, �� ������ ������� ���� Gr(V,E) �������. ��������� �������
������� xÎV �
������� �� �������. ��� ������� ������������ ����� ��������� ����� Si ������� ��� ������
������, ������� �� ���� �� ������ ������� i. ��������� ����� Si'
������� ��� ������ yÎSi, ����� �� ���������
�������� ����� ������ � �������� � ������ x,
Si''= Si \ Si'.
���������� ��� �������.
������� 1. ������� Si'
��������. ����� Si'={y1,y2,�,yn}.
��������� ����� T1, T2,�,Tn� ������ � �������� y1,y2,�,yn, �� ����������� ����
��������� ������� x � ����� (x,y1), (x,y2),�,(x,yn).
��������� ����� V1,V2,�,Vn
������� ������ ����� T1, T2,�,Tn
� ��������� X={x}ÈV1ÈV2È�ÈVn. �������� ������� ������� yÎS1'. ���� S1'=Æ ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ y=x. �� �������� 4.1
���� �������� x1,x2,�,xk
, �� ��������� ����� �� ������� �������� ����� Gr[X'], ����� �� x1=x,
xk=y. ��� �����������
����� ��������� �� ����������� �������� ������� ������� zÎS1'', ������ � �������� x ��������
�� ������� ���������� ��������� � �� ������ � ������� z ��������� �������. ����� ���� �� �������� ����������, ��
�������� � ������ x, ���������� ���
����� ��������, �� ������ ��������� � ������� 2.
������� 2. ������� S1'
����������. ����� S1'={yn: nÎw}.
��������� ����� Tn ������
� ������� yn, ��������
���������� ����� (x,yn).
����� Vn� - ������� ��� ������ ������ Tn. ��������� X={x}ÈÈnÎwVn. ����������
������������� ������� 4.1 �������� ���������� � �������� � x, �� ��������� ����� �� �������
�������� ����� Gr[X].
�� �
�������, ��� � � ������� ��������, ��� ���������� ���������� � �������� �
������� x. �������� � ������ ��
�������, ����� �� ��������� ��� ����������. �������� �������� ����������
����� i, ��� ����� ��������� Si'' �� ������ �� ����������
�����������. ���������, �� ��� ����� Si'=Æ. �������� �������� ������� zÎSi'', ����� ���� ��
������� ����������, � ��������� ������� �� ������ � ������� z.
������� 4.4. ����� Gr(V,E) - ��������
����������� ��'����� ����. ��� ���� �������� A ������� V �� �������
���������, ���� �� ��� ����� ��������� AÎA
(�)� ���� Gr[AÈ {x}] ��'����� ��� ������� �������� xÎV;
(��)
���� Gr[AÈ {x}] �� qr-������
� ������������, �� ���������� � ������� x.
���������. ��������� ����� ��������� � ���������� ������� 4.3. ³�������� ����
��������� ���� � ������� 2. ���� ������� S1'
���������, �� ����'��� �� �� ������� ��������� � ��� ����� � ��� ��������
��������� ���������� � �������� � ������ x ������ Gr(V,E).
������� 4.5. ��� ������� ������������ �������� ����� Gr(V,E) � ������� ������������ ����� r ���� ��������� V=V0ÈV1È�ÈVr-1, ����
��
dist(V0 ,V1)£ 3, dist(V1 ,V2)£ 3,�,dist(Vr-2 ,Vr-1)£ 3.
���������. �������� � ��������� ������� 4.2 ��������� �� ������� �����������, ��
������ � ������ ��������� ������� 4.4.
������� 4.5. ����� Gr(V,E) - �����������
������� ����. ��� ���� ������� ��'� {Án: nÎw} �������� ������� V, ���� ��
(�) |F|=n+1, diam F £ 3n ���
��� FÎ Án;
(��) ����
n+1|m+1, �� Ám � ����������� �������� Án, ����� ����� ���������
�������� Ám � ��'�������� �������� �������� Án.
���������. ������������ ��������� A �
������� 4.4. ��� ����� ��������� AÎA �������� ���������� <xn>nÎw , �� ��������� ����� �� �������
��������� A. ����'��� ���
���������� �� ������
{x0,x1,�,xn},
{xn+1,xn+2,�,x2n+1},{x2n+2,x2n+3,�,x3n+2},�
��������
������ ��������� ����������� �������� Án.
������� 4.6. ����� G - ���������� ����� �
�������� e, S - �������� ��������� ����� G,
�� ������� ���������� �������, S=S-1,
eÎS. ���
���� ������� ��'� �������� {Án: nÎw}� ����� G, ���� ��
(�) |F|=n+1 � xy-1ÎS 3n� ��� ��� x,yÎF �
����� ��������� FÎ Án;
(��)
���� n+1|m+1, �� Ám � ����������� �������� Án.
���������. ���������� ���� ��� Cay(G,S),
�� x,yÎE ��� �
����� ���, ���� x,yÎG, x¹y, xy-1ÎS. ��������� ������� 4.5 ��
����� ������ ���������� ����� Cay(G,S).
���
���������� �������� ���� ������������ ������ �������� ��� ������
������������ ���� �������� [5, ������� 7.4.4].
����� X - ������� �������, n - ���������� �����, Á,Á' -
�������� ������� X �� ���������
��������� n. ��� ���� ��������� TÍX, ����
�� |TÇF|=|TÇF'|=1 ��� ��� �������� FÎ Án,� F'Î Án'. ϳ�������� T ����������
������� ������������� �������� Á,Á'.
������� 4.7. ����� G - ���������� ����� �
�������� e, S - �������� ��������� ����� G,
�� ������� ���������� �������, S=S-1,
eÎS. ���
��� ������� nÎw ����� �������� G=X0È X1Èï¿½È Xn, ���� ��
G=S 3nXi=Xi
S 3n
��� ������� iÎ{0,1,�,n}.
���������.� ���������� �������� Án �� ������� 4.6. ��������� Án(0)=Án, Án'(0)={F-1: FÎÁn }. ��
���� �������� Án(0),Án'(0) ��������� ������� ��� ������ ������������ � �������� ��������� X0 ÍG, ���� �� |X0 Ç F|=|X0 Ç F-1|=1 ���
��� FÎÁn(0). �������� X0
� ����� G, ���������
Án(1)={F\X0 : FÎÁn(0)},� Án'(1)={F-1:
FÎÁn (1)}
� �� ���� �������� Án (1), Án'(1)
������� G\X0 ���������
������� ��� ������ ������������. ��������� �� ������ ������������ ������ X1� �������� ��������� X1 ��� G\X0� � �.�.
������� 4.8. ����� G - ���������� ����� �
�������� e, S - �������� ��������� ����� G,
�� ������� ���������� �������, S=S-1,
eÎS. ���
���� ��������� G= ÈnÎw� Xn, ���� ��
G=S 3×2n Xn=Xn S 3×2n
��� ��� nÎw� .
��������� ���������.
��������� ��'� �������� {Án n: nÎw } � ������� 4.6. ��������� A0=Á1, A0' ={F-1: FÎÁ1}. �� ���� �������� A1 ,
A1' ������� G\X0 ��������� ������� ���
������ ������������ � �������� ��������� X1
Í G\X0 ����� �� |X1Ç F|=|X1Ç F-1|=1 ���
��� FÎA1. �������� X1 �
������� G\X0 � ���������
A2={F\(X0 ÈX1): FÎÁ4},� A2'={F-1: FÎA2}.
�� ���� �������� A2, A2' ������� G\(X0
ÈX1) ��������� ������� ��� ������ ������������, ��������� �� ������
������������ ����� X2�� �.�.�.
��������� ������� 4.9. �����
G - ������� �����, H - �������� ������� ����� G, |H|=n+1.
��� ���� �������� G=X0 È X1Èï¿½È Xn ���� �� G=H Xi=Xi H ��� ��� iÎ{0,1,�,n}.
��������� ���������.
���������� �������� ����� G �� ����
�� �� ������ ����� �� �������� H
� �� ���� ���� �������� ��������� ������� ��� ������ ������������.
������� 4.10. . ����� G - ���������� �����, H0ÌH1 Ì�ÌHn Ì� - ���������� ������ ��
��������� ������, |H0|>1.
��� ���� �������� G=ÈnÎw Xn ���� �� G=Hn �Xn
= Xn Hn ���� ��� nÎw.
���������. ��� ������� nÎw ��������� ����� Án �� Án'
�������� ����� G �� �� �� ����
������ ����� �� ������ Hn.
�� ��'� �������� {Án : nÎw } ��������� ��������� � ��������� ������� 4.8.
ϳ��������
X ����� G ���������� ������� ���� (������), ���� ���������� ����
�������� ��������� FÍG, �� G=FX (G=XF). ϳ�������� X, �� ��������� ������ ���� � ������,
���������� �������. �. ����� �� �.�. ������� ��������� ���� ��������� [14].
��
����� ���������� ����� ����� ������� �� �� ����� ���������?
³������
�� �� ��������� �� ������� ������� ����� ���������.
������� 4.11. ����� ���������� ����� G �����
�������� �� ������� ����� �������
��������.
���������. ���� ����� �������� ��������� ����� G
������� �������� �������, �� � ���� G
���� ���������� ������ H0ÌH1 Ì�ÌHn Ì� ��������� ������. � �����
������� ����������� ������� 4.10. � ������ ������� ����� �������� ��������� SÌG
������� ���������� �������. ����������� ������� 4.8.
������ 4.2. �������, �� ����-��� ��'� ������� ���� �������� ����������� (�������,
�������) �����, �� ������� �� �������������, � ��������� ��� ��������.
��������, �� ����� G ����������
������������, ���� ���� ��� m, ��������� �� ��� ���������� ����� G,
���� ��
(�) m(G)=1;
(��) m(A1È A2È ï¿½È An)= m(A1)+m(A2)+ �+m(An) ���
�������� �������� A1, A2,
�, An, �� ������� �� �������������;
(���) m(gA)=m(A) ���
�������� gÎG, AÍG.
������ 4.3. ����� X - ������� ����������
�������, F(X)- ����� ����� �
������ X. ������� �������� ����� G �� |X|
������� ���� ��������. ������� �������� ����� G �� |X| �������
��������.
����� G - ������� �����, X - ��������� ��������� �� G.
˳��� (������) �������� ��������� X
������� ��������� �������� k, ���
����� ���������� ��������� FÍG, |F|=k, ���� �� G=FX (G=XF).
������������ ����� ����� �� ������� ������� ���������� �������� ��������� X.
������ 4.4. ����� G - ���������� �����, |G|=k. �������, �� ���� �������� ����� G �� k
��������, ���� ������ ����� � ���� <k.
�������� 4.1. ����� G - ���������� �����, |G|=k. �� ����� ������� G �� k
��������, ������ ����� � ���� <k ?