� 4. ��������� � �����������

 

 

 

������������ x1,x2,�,xk ����� ������ ��'������ ����� Gr(V,E) ���������� ����������, ����

d(x1,x2)£ 3, d(x2,x3)£ 3,�, d(xk-1,xk)£ 3, d(xk,x1)£ 3.

� ������� ���������� ��'������ ����� ���� ��������, �� ��������� ����� ����� ���� �������. �� ���������� ������� � ���� ������� ��� ��������.

������� 4.1. ����� Gr(V,E) - ��������� ��'����� ����, |V|=n, n³ 2. ��� �������� ������� ������ x,y Î V ���� �������� x1,x2,�,xn , ����� �� x=x1, y=xn .

���������. ������� � ����� Gr(V,E) � �����, � ����� ������� x,y ��� ������, ����� �������, �� Gr(V,E) - ������. ��������� �������� �� n. ��� n=2 ���������� ��������. �������� ���������� �������� � ���������� ��� �������.

������� 1. |B(x,1)|=2, ����� x - ������ ������� ������ � B(x,1)={x,y}. �������� ������� x � ����� (x,y). �������� ������ Gr'(V',E') � �������� ������ V'=V\{x} � �������� ����� E'=E\{x,y}. �������� ������� z, ������ � �������� y � ����� Gr'(V',E') . �� ����������� �������� ���� �������� x2,x3,�,xn � ����� Gr', ����� �� x2=z, xn=y. ��� x1,x2, x3,�,xn - �������� � ����� Gr.

������� 2. |B(x,1)|>2. ���� |B(y,1)|=1, �� ������ ���� x,y ����� y,x �� ���������� � ������� �������. ����, ����� �������, �� |B(x,1)|>1, |B(y,1)|>1. �������� ����� (x,y) � �������� ��� ������ Gr1(V1,E1), Gr2(V2,E2) � �������� x � y. ����� |V1|=k, |V2|=m. ������� k³ 2, m³ 2, �� �� ����������� �������� ������� ��������� x1,x2,�,xk� � y1,y2,�,xm� � ������� Gr1 � Gr2, ��� �� x1=x, ym=y � (x1,xk)ÎE1, (y1,ym)ÎE2 . ������� ������� �� xk �� y1 � ����� Gr ������� 2, �� x1,x2,�,xk , y1,y2,�,xm - �������� ��� �������� � ����� Gr.

������ 4.1. ������� ������� ���������� ������ Gr(V,E), ��� ����� �� ���� ������������� x1,x2,�,xn ������� ������ V, ������ �� d(x1,x2)£ 2, d(x2,x3)£ 2,�, d(xn-1,xn)£ 2. �����, �� ���������� ������ ������������� ���������� � ���������� ���������.

��������� ������� 4.1 ��� �������� ������ �������� ������.

������� 4.2. ����� r,n - ���������� �����, r - ������ ����� n. ��� ������� ��'������ ����� Gr(V,E), |V|=n ���� ����������� �������� V=V0 È V1 È�ÈVr-1� ���� ��

dist(V0,V1)£ 3, dist(V1,V2)£ 3,�, dist(Vr-2,Vr-1 )£ 3, dist(Vr-1, V0 )£ 3.

���������. ��� n=1 ���������� ��������. ��� n³ 2 ������� ������� ������ ������� x,y. �� �������� 4.1 ���� ᳺ���� f: V� {0,1,�,n-1}, ���� �� f(0)=x,� f(n-1)=y � d(f(i),f(i+1))£ 3� ��� ��� iÎ {0,1,�,n-2}. ��� ������� ������� vÎV ��������� c(v)=f(v) mod r. ��������� V0=c -1(0), V1=c -1(1),�, Vr-1=c -1(r-1).

���������, �� ������ ����� ��������� �������� � ������� 4.2 �� �������� 3r . ����, �������� � �������� 1.2, ������� 4.2 ��������� � ������ ������� ��������, ��� ����� � ������ �������� �� �������� ����������� ��������.

������������ <xn>nÎw ����� ������ ������������ ��'������ ����� ���������� ������������, ���� d(xn , xn+1)£ 3 ��� ��� nÎw . ���� Gr(V,E) ������� ��������������, ��������� qr-������, ���� ���� ����������, �� ��������� ����� �� ������� ����� �����. ���� � ���������� ��'������ �����, �� �������� 4.1, ���� ��������, �� ��������� ����� �� �������, ������ �� ����� ����������� ��'����� ���� �� ����������, �� ��������� ����� �� ���� �������. �������������� ������������������ qr-����� ��������� � ���������� ���������. ���������� �� ��, ������� ����������� ����������� ������ �������� ��� �������� �������� �������� ����������� ��'����� ������. ������������ ������������ ����� ��������� � �������� �� �������.

������� 4.3. ����� Gr(V,E) - �������� ��'����� ����. ��� ���� �������� A ������� ������ V �� �������� ��� ������� ����� ��������, ���� �� ��� ����� ��������� AÎA

(�) ���� Gr[A] ��'�����;

(��) ���� Gr[A] � qr-������.

���������. ������� ����� ������� ���� �� �����, �� ������ ������� ���� Gr(V,E) �������. ��������� ������� ������� xÎV � ������� �� �������. ��� ������� ������������ ����� ��������� ����� Si ������� ��� ������ ������, ������� �� ���� �� ������ ������� i. ��������� ����� Si' ������� ��� ������ yÎSi, ����� �� ��������� �������� ����� ������ � �������� � ������ x, Si''= Si \ Si'. ���������� ��� �������.

������� 1. ������� Si' ��������. ����� Si'={y1,y2,�,yn}. ��������� ����� T1, T2,�,Tn� ������ � �������� y1,y2,�,yn, �� ����������� ���� ��������� ������� x � ����� (x,y1), (x,y2),�,(x,yn). ��������� ����� V1,V2,�,Vn ������� ������ ����� T1, T2,�,Tn � ��������� X={x}ÈV1ÈV2È�ÈVn. �������� ������� ������� yÎS1'. ���� S1'=Æ ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ï¿½ y=x. �� �������� 4.1 ���� �������� x1,x2,�,xk , �� ��������� ����� �� ������� �������� ����� Gr[X'], ����� �� x1=x, xk=y. ��� ����������� ����� ��������� �� ����������� �������� ������� ������� zÎS1'', ������ � �������� x �������� �� ������� ���������� ��������� � �� ������ � ������� z ��������� �������. ����� ���� �� �������� ����������, �� �������� � ������ x, ���������� ��� ����� ��������, �� ������ ��������� � ������� 2.

������� 2. ������� S1' ����������. ����� S1'={yn: nÎw}. ��������� ����� Tn ������ � ������� yn, �������� ���������� ����� (x,yn). ����� Vn� - ������� ��� ������ ������ Tn. ��������� X={x}ÈÈnÎwVn. ���������� ������������� ������� 4.1 �������� ���������� � �������� � x, �� ��������� ����� �� ������� �������� ����� Gr[X].

�� � �������, ��� � � ������� ��������, ��� ���������� ���������� � �������� � ������� x. �������� � ������ �� �������, ����� �� ��������� ��� ����������. �������� �������� ���������� ����� i, ��� ����� ��������� Si'' �� ������ �� ���������� �����������. ���������, �� ��� ����� Si'=Æ. �������� �������� ������� zÎSi'', ����� ���� �� ������� ����������, � ��������� ������� �� ������ � ������� z.

������� 4.4. ����� Gr(V,E) - �������� ����������� ��'����� ����. ��� ���� �������� A ������� V �� ������� ���������, ���� �� ��� ����� ��������� AÎA

(�)� ���� Gr[AÈ {x}] ��'����� ��� ������� �������� xÎV;

(��) ���� Gr[AÈ {x}] �� qr-������ � ������������, �� ���������� � ������� x.

���������. ��������� ����� ��������� � ���������� ������� 4.3. ³�������� ���� ��������� ���� � ������� 2. ���� ������� S1' ���������, �� ����'��� �� �� ������� ��������� � ��� ����� � ��� �������� ��������� ���������� � �������� � ������ x ������ Gr(V,E).

������� 4.5. ��� ������� ������������ �������� ����� Gr(V,E) � ������� ������������ ����� r ���� ��������� V=V0ÈV1È�ÈVr-1, ���� ��

dist(V0 ,V1)£ 3, dist(V1 ,V2)£ 3,�,dist(Vr-2 ,Vr-1)£ 3.

���������. �������� � ��������� ������� 4.2 ��������� �� ������� �����������, �� ������ � ������ ��������� ������� 4.4.

������� 4.5. ����� Gr(V,E) - ����������� ������� ����. ��� ���� ������� ��'� {Án: nÎw} �������� ������� V, ���� ��

(�) |F|=n+1, diam F £ 3n ��� ��� FÎ Án;

(��) ���� n+1|m+1, �� Ám � ����������� �������� Án, ����� ����� ��������� �������� Ám � ��'�������� �������� �������� Án.

���������. ������������ ��������� A � ������� 4.4. ��� ����� ��������� AÎA �������� ���������� <xn>nÎw , �� ��������� ����� �� ������� ��������� A. ����'��� ��� ���������� �� ������

{x0,x1,�,xn}, {xn+1,xn+2,�,x2n+1},{x2n+2,x2n+3,�,x3n+2},�

�������� ������ ��������� ����������� �������� Án.

������� 4.6. ����� G - ���������� ����� � �������� e, S - �������� ��������� ����� G, �� ������� ���������� �������, S=S-1, eÎS. ��� ���� ������� ��'� �������� {Án: nÎw}� ����� G, ���� ��

(�) |F|=n+1 � xy-1ÎS 3n� ��� ��� x,yÎF � ����� ��������� FÎ Án;

(��) ���� n+1|m+1, �� Ám � ����������� �������� Án.

���������. ���������� ���� ��� Cay(G,S), �� x,yÎE ��� � ����� ���, ���� x,yÎG, x¹y, xy-1ÎS. ��������� ������� 4.5 �� ����� ������ ���������� ����� Cay(G,S).

��� ���������� �������� ���� ������������ ������ �������� ��� ������ ������������ ���� �������� [5, ������� 7.4.4].

����� X - ������� �������, n - ���������� �����, Á,Á' - �������� ������� X �� ��������� ��������� n. ��� ���� ��������� TÍX, ���� �� |TÇF|=|TÇF'|=1 ��� ��� �������� FÎ Án,� F'Î Án'. ϳ�������� T ���������� ������� ������������� �������� Á,Á'.

������� 4.7. ����� G - ���������� ����� � �������� e, S - �������� ��������� ����� G, �� ������� ���������� �������, S=S-1, eÎS. ��� ��� ������� nÎw ����� �������� G=X0È X1Èï¿½È Xn, ���� ��

G=S 3nXi=Xi S 3n

��� ������� iÎ{0,1,�,n}.

���������.� ���������� �������� Án �� ������� 4.6. ��������� Án(0)=Án, Án'(0)={F-1: FÎÁn }. �� ���� �������� Án(0),Án'(0) ��������� ������� ��� ������ ������������ � �������� ��������� X0 ÍG, ���� �� |X0 Ç F|=|X0 Ç F-1|=1 ��� ��� FÎÁn(0). �������� X0 � ����� G, ���������

Án(1)={F\X0 : FÎÁn(0)},� Án'(1)={F-1: FÎÁn (1)}

� �� ���� �������� Án (1), Án'(1) ������� G\X0 ��������� ������� ��� ������ ������������. ��������� �� ������ ������������ ������ X1� �������� ��������� X1 ��� G\X0� � �.�.

������� 4.8. ����� G - ���������� ����� � �������� e, S - �������� ��������� ����� G, �� ������� ���������� �������, S=S-1, eÎS. ��� ���� ��������� G= ÈnÎw� Xn, ���� ��

G=S 3×2n Xn=Xn S 3×2n

��� ��� nÎw� .

��������� ���������. ��������� ��'� �������� {Án n: nÎw } � ������� 4.6. ��������� A0=Á1, A0' ={F-1: FÎÁ1}. �� ���� �������� A1 , A1' ������� G\X0 ��������� ������� ��� ������ ������������ � �������� ��������� X1 Í G\X0 ����� �� |X1Ç F|=|X1Ç F-1|=1 ��� ��� FÎA1. �������� X1 � ������� G\X0 � ���������

A2={F\(X0 ÈX1): FÎÁ4},� A2'={F-1: FÎA2}.

�� ���� �������� A2, A2' ������� G\(X0 ÈX1) ��������� ������� ��� ������ ������������, ��������� �� ������ ������������ ����� X2�� �.�.�.

��������� ������� 4.9. ����� G - ������� �����, H - �������� ������� ����� G, |H|=n+1. ��� ���� �������� G=X0 È X1Èï¿½È Xn ���� �� G=H Xi=Xi H ��� ��� iÎ{0,1,�,n}.

��������� ���������. ���������� �������� ����� G �� ���� �� �� ������ ����� �� �������� H � �� ���� ���� �������� ��������� ������� ��� ������ ������������.

������� 4.10. . ����� G - ���������� �����, H0ÌH1 Ì�ÌHn Ì� - ���������� ������ �� ��������� ������, |H0|>1. ��� ���� �������� G=ÈnÎw Xn ���� �� G=Hn �Xn = Xn Hn ���� ��� nÎw.

���������. ��� ������� nÎw ��������� ����� Án �� Án' �������� ����� G �� �� �� ���� ������ ����� �� ������ Hn. �� ��'� �������� {Án : nÎw } ��������� ��������� � ��������� ������� 4.8.

ϳ�������� X ����� G ���������� ������� ���� (������), ���� ���������� ���� �������� ��������� FÍG, �� G=FX (G=XF). ϳ�������� X, �� ��������� ������ ���� � ������, ���������� �������. �. ����� �� �.�. ������� ��������� ���� ��������� [14].

�� ����� ���������� ����� ����� ������� �� �� ����� ���������?

³������ �� �� ��������� �� ������� ������� ����� ���������.

������� 4.11. ����� ���������� ����� G ����� �������� �� ������� ����� ������� ��������.

���������. ���� ����� �������� ��������� ����� G ������� �������� �������, �� � ���� G ���� ���������� ������ H0ÌH1 Ì�ÌHn Ì� ��������� ������. � ����� ������� ����������� ������� 4.10. � ������ ������� ����� �������� ��������� SÌG ������� ���������� �������. ����������� ������� 4.8.

������ 4.2. �������, �� ����-��� ��'� ������� ���� �������� ����������� (�������, �������) �����, �� ������� �� �������������, � ��������� ��� ��������. ��������, �� ����� G ���������� ������������, ���� ���� ��� m, ��������� �� ��� ���������� ����� G, ���� ��

(�) m(G)=1;

(��) m(A1È A2È ï¿½È An)= m(A1)+m(A2)+ �+m(An) ��� �������� �������� A1, A2, �, An, �� ������� �� �������������;

(���) m(gA)=m(A) ��� �������� gÎG, AÍG.

������ 4.3. ����� X - ������� ���������� �������, F(X)- ����� ����� � ������ X. ������� �������� ����� G �� |X| ������� ���� ��������. ������� �������� ����� G �� |X| ������� ��������.

����� G - ������� �����, X - ��������� ��������� �� G. ˳��� (������) �������� ��������� X ������� ��������� �������� k, ��� ����� ���������� ��������� FÍG, |F|=k, ���� �� G=FX (G=XF). ������������ ����� ����� �� ������� ������� ���������� �������� ��������� X.

������ 4.4. ����� G - ���������� �����, |G|=k. �������, �� ���� �������� ����� G �� k ��������, ���� ������ ����� � ���� <k.

�������� 4.1. ����� G - ���������� �����, |G|=k. �� ����� ������� G �� k ��������, ������ ����� � ���� <k ?