� 5 ���Dz��̲������² �������

 

��������� ��'����� ���� Gr(V,E) � �������� ������ V=V(Gr) � �������� ����� E=E(Gr), ���������� ������������, ���� ���� ���� ��������� f: {1,2,...,n}�V ������� ���� ������, ��

d(f(1),f(2))=d(f(2),f(3))=...=d(f(n-1),f(n))=d(f(n),f(1))=1.

��� ����� ������������ f(1),f(2),�,f(n) ���������� ������������ ������. ������ �������������� ������������ ������ - ���� � ���������� ������'������ ������� ���� ������ (���. [5, ����. 85], [12, ����. 72]).

�� �������� 4.1 ������� ������ ��������� ���������� �������� ����� Gr(V,E) ����� ������������ f: {1,2,...,n}�V� ���, ��

d(f(1),f(2))£3, d(f(2),f(3))£3, ..., d(f(n-1), f(n))£3, d(f(n), f(1))£3.

������������ ������ f(1),f(2),�,f(n) ���������� ������ ���������� �����. � ��'���� � ��� ����������� �������� ��������� ��� ��������� � ��������.

��������� 1. ��������� f: {1,2,...,n}�V ������� ������ ���������� ��'������ ����� Gr(V,E) ������� ���������������� ������ (��������� qh-������), ����

d(f(1),f(2)) £2, d(f(2),f(3)) £2, ..., d(f(n-1),f(n)) £2, d(f(n),f(1)) £2.

����, �� ������� ���� ��������� ������ ������� ���������������� ������ (��������� qhc-������).

��������� 2. ��������� f: {1,2,...,n}�V ������� ������ ���������� ��'������ ����� Gr(V,E) ������� ���������������� ������ (��������� qh-������), ����

d(f(1),f(2))£2, d(f(2),f(3))£2, ..., d(f(n-1),f(n))£2.

����, �� ������� ���� ��������� ������, ������� qhp-������.

�������� 5.1. ���������������� qhc-�����.

�������� 5.2. ���������������� qhp-�����.

� ����� ��������� �������� 5.1 �� 5.2 ����'����� ��� �����, �������� ������ ������� ij���� ��� ��� qhc-������, � ����� ���������� ���� ������� �������� 5.2 ��� ����������� ������.

����� T(V,E) - �������� ������, xÎV, B(x,1)={x,y1,y2,...,ym}. ϳ��� ��������� ������� x � ����� {x,y1}, {x,y2},..., {x,ym} ������ T ����������� �� ������� , , ... , �� �������� y1, y2 ,..., ym . ������� ��� ����� ��������� t(x)={, , ... , }.

���� 5.1. ����� T(V,E)- �������� ������,

xÎV, t(x)={, , ... ,,�,},

ïV()ï>1, ïV()ï>1, ..., ïV()ï>1, ïV()ï= ... = ïV()ï=1.

���� T -� ghc-����, �� k£2.

���������. ���������� ���������� k>2 � ��������� gh-���� x=x0, x1, x2, ..., xn-1 � ����� T. 3 ����������� x0, x1, x2, ..., xn-1� ���������� �� �������, �� �� �������� ������� V() È V() È� V(). �������� ������������ ��������� z1, z2, ..., zs. ���������� ��� �����������, �� z1ÎV(). ���� z1=y1, �� ��������� z2, z3,.., zs ÎV(). ����, z1¹y1. �������� ������������ ������ tÎ{1,2,...,s}, ����� �� ztÎV(). ��������, �� zt=y1� �� z1, z2, ..., ztÎV(). ���������� ��� �����������, �� zt+1ÎV(). ��� ��������� zt+1=y2 � zt+1 , ..., zs ÎV(). �������� ������������ � ������

V()Í{z1, z2, ..., zs}.

������� 5.1. �������� ������ T(V,E)� ��������� qhc-�������, ��� � ����� ���, ���� ���� ����� ���� x0, x1, ...,xd, �� �� ������� � ������� V\ { x0, x1, ...,xd} � �������� ��������� ������.

���������. ������������. ����� d - ������ ������, ����� ������� �� ����� ������� ���������� ���� ��������� x0, xd. ��������� ����� x0, x1, ...,xd ����������� ���� �� x0 �� xd. ���

B(x0,1)={x0,x1}, B(xd,1)={xd-1, xd}

� ����� ������� � ������

B(x1,1)\{x0,x1,x2}, B(xd-1,1)\{xd-2,xd-1,xd}

� �������. ³������ �������� ������ iÎ{2,3,...,d-2}. �������

½B(xi-1,1)½³ 3, ½B(xi+1,1)½ ³3,

�� �� ����� 5.1 ����� ������� � ������� B(xi,1)\{xi-1,xi,xi+1} � ������� �������� ������.

�����������. ��� d=0 ������� ��������: ����-��� ��������� ������� V � qh-������. ����������, �� d>0 � ��������� �� d �������� ��������� qh-����� z0, z1,�, zn-1, ������ �� z0=x0, z1=x1. ����� �������, �� � ���� ������� x0, xd-����� ������� ������. ��� d=1 ��������� z0=x0, z1=x1. ����� d>1 � B(x1,1)={x0,x1,x2,y1,y2,�ym}. �������� ������� x0,y1,y2,�ym � ����� {x0,x1}, {x1,y1}, {x1,y2},� {x1,ym}. �������� ������ T¢ � ������ x1,x2,�,xd, �� ����������� ����� �������. �� ����������� �������� � T¢ ���� qh-���� V1, V2, � Vs, ����� �� v1=x1, v2=x2 . ���

x1, x0, y1,y2,�ym, v2 ,v3, � vs -

qh-���� � ����� T, �� ����������� ������������ ����������.

������ 5.1. �������, �� ������ T � ������������ ������ ��� � ����� ���, ���� V(T)=1 ��� V(T)=2.

������ 5.2. ����� Gr(V1,E) - qhc-����, |V|=n, r - ������ ����� n. �������, �� ���� ����������� �������� V0, V1,�, Vr-1 �, ���� ��

dist(V0, V1)£ 2, dist(V1, V2)£ 2,�, dist(Vr-2, Vr-1)£ 2, dist(Vr-1, V1)£ 2 .

����� Gr(V,E) - ��������� ��'����� ����, |V|=n. ���� |B(x,1)|³+1 ��� ����-��� ������� xÎV, �� �� �������� ij���� [5, ����. 74] ���� Gr(V,E) � ������������. �� �������� �������� ������ ����������������� �����, �� � �������� ���� ������� ij����.

������� 5.2. ����� Gr(V,E) - ��������� ��'����� ����, |V|=n. ���� |B(x,2)|³+1 ��� ����-��� ������� xÎV, �� ���� Gr(V,E) � ����������������.

���������. ����� ������������� y1,y2,�,yk ����� ������ ����� � ������ d(y1,y2)£2, d(y2,y3)£2,�, d(yk-1,yk)£2, �������� ������������ x1,x2,�,xt ����������� �������. ��������, �� B(x1,2)Í{x1,x2,�,xt}, B(xt,2)Í{x1,x2, �, xt}. ������� t£n � |B(x1,2)|³+1, |B(xt,2)|³+1,� �� ���������� ��� ������� xi,xi+1, iÎ{1,2,�,t-1} �� xi+1ÎB(x1,2), xiÎB(xt,2). ������������ ������� x1,x2,�,xt � ������ �������

x1,xi+1,xi+2,�,xt,xi,xi-1,�,x2 .

�������� �� ������������ �� z1,z2,�,zt � �������, ��

d(z1,z2)£2, d(z2,z3)£2, �, d(zt-1,zt)£2, d(zt,z1)£2.

����������, �� t<n � �������� ������� xÎV\{z1,z2 ,�,zt} � ������� zj, jÎ{1,2,�,t} ���, �� d(zj,x)=1. ��� ������� �� �������� ��������� ����������� x,zj,zj+1,..,zt,z1,z2,..,zj-1 �� �������� 2, �� ���������� ������������� t. ����, t=n � z1,z2,..,zn - qh-���� � ����� Gr(V,E).

�������� �������� 5.1 �������������� ���������������� ������ ����� ��������� �� ��� ������� ��� �������� ������ �����������������. ��� ���� �� � ���.

�������� 5.3. �� ����� ������ ���� � ����������������? ��������, �� ������� ���� ���������� ���������, ���� ��������� ������ ����� ���� ������� � ������ ������.

�������� 5.4. �� ����� ��������� ���� � ����������������?

������� x qhc-����� Gr(V,E) ������� ���������, ���� ���� qh-���� x1,x2,�,xn � Gr, ����� �� x=x1 � d(x1,x2)=1. ���� V={x}, �� ����� ������� ������� x ���������. � ��������� ����������� � ������ 5.1 �������, �� ����� qhc-������ �� �������� �������. ��� ��������������� �������� qhp-����� ������� �� �������� ���������.

�������� �. ����� Gr1(V1,E1) - qhp-���� � qh-������ y1,y2,�ym. ³������ �������� qhc-���� Gr2(V2,E2), V1ÇV2=Æ ï¿½ ��������� �������� x � qh-������ x=x1,x2,�,xn, d(x1,x2)=1. �������� ����� ���� Gr(V1ÈV2,E), �� E=E1ÈE2È{(ym,x1)}. ���������, �� ������������ ������

y1, y2, �, ym, x2, x1, xn, xn-1, � , x3

� qh-������ � ����� Gr. ����, � ��������� �������� ��������� � �������� ����� qhp-���� Gr. ��� ����, ���� Gr1, Gr2-������, �� Gr - ��� ������.

�������� �. ����� Gr(V,E) - qhp-���� � qh-������ y1,y2,�ym. ³������ ������� ������� yt, ���� �� d(y1,yt)=1. �������� �������� ������� xÏV � ���������� ���� Gr¢(VÈ{x},E¢), �� E¢=EÈ{(x,yt)}. ³������, �� ������������

x, y1, y2,�, yt, yt+1 , �, ym

� qh-������ � ����� Gr¢. ����, � ��������� �������� ��������� � �������� ����� qhp-���� Gr¢. ��� ����, ���� ���� Gr ��� �������, �� Gr¢ ��� ������.

������� 5.3. �������� ������ T(V,E) ��������� qhp-������ ��� � ����� ���, ���� T(V,E) � qhc-�������, ��� T(V,E) ����� �������� � ������� qhc-������ ���������� ������������� �������� �, � ��������� qhc-�����.

���������. ����������� ������� � ��������� �������� ��������� � � �. ��� ��������� ����������� ��������� ������ qh-���� y1,y2,�,ym � ����� T(V,E) � ���������� ��� �������.

������� 1: ������� y1 �� � ������� �������� ������ T(V,E). �������� ������������ ������ tÎ{1,2,�,m}, ����� �� d(y1,yt)=1. ��������� ����� ������ � �������� y1, yt, �������� ���������� � ������ T(V,E)� ����� {y1,yt}. ���� t=m, �� T(V,E) - qhc-����. ����������, �� t<m. ��������, �� {yt+1,�,ym}ÇV()=Æ. �������, �� qhp-������ � qh-������ yt, yt+1,�, ym. ��� ���� V()={y1,y2,�,yt-1},� d(y1, yt-1)=1. ����, - qhc-������ � ��������� ������ y1. ���������� �������, �� T(V,E) ����� �������� ��������� ��������� � �� ������ .

������� 2: ������� y1 � ������� �������� ������ T(V,E). �������� ������ tÎ{1,2,�,m} ���, �� (y1,yt)ÎE. ��������� ����� ������� � ������� yt,� �������� ���������� � T(V,E) ����� (y1,yt). ����, �� V()={y2, y3,�, yt,�, ym} � �- qhp-���� � qh-������ y2, y3,�, yt, yt+1 ,�, ym. ���� t=2, �� T(V,E) ����� �������� � ��� ��������� �������� �. ���� � t >2, �� T(V,E) ����� �������� � �� ��������� �������� �.

��������, �� ����������� ��'����� ���� Gr(V,E) ���������� qr-������, ���� ���� ᳺ���� f:w�V, ���� �� d(f(i),f(i+1))£3 ��� ����-����� iÎw.

��'����� ���� ���������� �������� ���������, ���� ��������� ������ ����� ���� ������� ���������.

��������� ������������ ������ T(V,E) ���������� ��'������� ������������ {xn:nÎw} ���� ������, �� ����������� ��� �����

(�) d(xn, xn+1)=1 ��� ��� nÎw;

(��) ���� ��������� ������ {xn:nÎw} ������ T(V,E) ����������� �� �������� ������.

���������, �� �� ����� ���������� �������� �������� ������ �� �������, ��� �� ����� ������� � ������� ������������ �������� ���������� ����� ���� ��'������� ������������ ������, �� ����������� ����� (�).

������� 5.4. ���������� �������� �������� ������ T(V,E) ��������� qr-������ ��� � ����� ���, ���� T(V,E) �� �������.

���������. ������������. ����� {xn:nÎw} - ��'������� ������������ ������ � ������ d(xn,xn+1)=1, nÎw. ��������� ����� U ������� ��� ������ � V\{xn:nÎw}, �������� � ��������� ������� {xn:nÎw}. ��� ����� ������� yÎU ��������� ����� Ty ������ � ������� y, �������� ���������� ����� (y,xm), �� xm - �������, ������ � y. ����������, �� ���������� ������� zÎU, ���� �� ������ Tz ����������. �������� ������� xi, ��� ��� {xi,z}ÎE. �� ������ ������� ���� ���� ��������� {vn:nÎw} ������ ������ T(V,E) , �� d(vn,vn+1)£3 ��� ��� nÎw. �������� ������ sÎw ���, ��� B(xi,3)Í{v1,v2,�,vs}. ������� ������ Tz� ����������, �� ���������� ������ t>s, ����� �� �vtÎTz. ���

{vt, vt+1, �}Ç {xn: nÎw}=Æ.

�������� ������������ � ���, �� ������������ {vn:nÎw} ������ ��� ������� ������ V.

�����������. ����� {xn:nÎw} - ������� ������ T(V,E). ��������� ����� T0 ������ � ������� x0, �������� ���������� � T(V,E) ����� {x0,x1}. ��� ������� nÎw, n>0 ��������� ����� Tn ������ � ������� xn, �������� ���������� ����� {xn-1,xn}, {xn,xn+1}. ���� |V(Tn)|=1, ��������� xn¢=xn. ���� � |V(Tn)|>1, ��������� ������� ������� xn¢ÎV(Tn), ������ � �������� xn. ��������� kn=|V(Tn)|, nÎw. �� �������� 4.1 ������� ᳺ����

f0:{1,2,�,k0}�V(T0), f0 (x0¢)=1, f0 (x0)=k0,

f1:{k0+1,k0+2,�,k0+k1}�V(T1), f1 (x1¢)=k0+1, f1 (x1)=k0+k1,

f2:{k0+k1+1,k0+k1+2,�,k0+k1+k2}�V(T2), f2(x2¢)=k0+k1+1, f2(x2)=k0+k1+k2,

���

�� ������������� �����

d(fn(i),fn(i+1))£3

��� ��� nÎw, iÎ{k0+k1+�+kn-1+1, k0+k1+�+kn}.

��������� ᳺ���� f:{1,2,�}�V �� �������� f(i)=fn(i) ��� � ����� ���, ���� i ������ � ������� ���������� ������� fn. ������� ������� � ����� T(V,E) �� ��������� xn �� xn¢ �� ��������� 2, �� f - ������ ���������.

�������� 5.5. ���������������� qr-������.

�������� ���� ��������� � ���� �������� ������ qr-������.

������� x ��'������ ����� Gr(V,E) ������� �������� �������� ���������� (�������� ������������), ���� ���� B(x,1) �������� (����������).

������� 5.5. ����� T(V,E) - qr-������, x,yÎV,� x1, x2, �, xn� - ����������� ���� �� x �� y, x=x1 y=xn. ��������� ����� Tx,Ty ������ � �������� x, y, �������� ���������� ����� {x,x1}, {xn-1,y}. ���� ������ Tx, Ty ����������, �� x2, x3,�, xn-1�� - ������� �������� ������������.

���������. ³������ ���������� {vn: nÎw}, �� ��������� ����� �� ������� ������. ������ �������, �� xn-1 - ������� �������� ������������ � ����������� ���������� ���������. ���������� ����������: ���� B(xn-1,1) ��������. �������� �������� ���������� ����� t, ���� ��

B(xn-1,1)Í {v0, v1, �,vt}, vt Î Ty, y¹ vt .

��� {vt+1 , vt+2 ,�}Ç Tx= Æ, �� ���������� ������������ ������ Tx.

������� 5.6. ���� �� ������� ������� ��������� ������ T(V,E) � ��������� �������� ������������, �� T(V,E) - qr-������.

���������. ����� {vn: nÎw} - ��������� ������ ������. ���������� {yn: nÎw}, �� ��������� ����� �� ������� ������, �������� ����������. ��������� y0=v0. ����������, �� ��� ��������� ������ {y0,y1,�,yk} �����������. ³������ ����� ������� vÎ{vn: nÎw}, ����� ��� �� ������� ������ {y0,y1,�,yk}. ����� z1, z2,�,zm - ����������� ���� �� yk� �� v, yk =z1, v=zm. ������� z2, z3,�,zm-1 - ������� �������� ������������, �� ����� ������� �������

yk+1ΠB(z2,1)\ {z1, z2, z3}, yk+2ΠB(z3,1)\ {z2, z3, z4},�,

yk+m-2Î B(zm-1,1)\ {zm-2, zm-1, zm},

����� � ���� �� �������� ������ {y0,y1,�,yk}. ���������� ������ {y0,y1,�,yk} ���������� �� ���� ���� ������ {yk+1,yk+2,�,yk+m-2, v}.

��������� ����� Gr(V,E) - �������� ������� ����. ������� f: w�V ������� ���������������� �������� (��������� qh-��������), ���� d(f(i), f(i+1))£2 ��� ��� iÎw. ����, �� ������� ���� ᳺ���� ������� qhr-������.

�������� 5.6. ���������������� qhr-������.

��������� �������� ������ ������, �� ���� qhr-����� ������ ������ �� ���� qr-�����.

��������� ������ 5.3. ����� T(V,E) - ������� ������, xÎV,

, , �, Πt (x), |V()|>1, |V()|>1,�|V()|>1.

���� T(V,E) - qhr-����, �� k£ 4 � ����� ����� , , �, ��� ����� ������ ������������ ������.

��������� ���������� ���� ����������� ������ � ��������, ���'����� � ������������ �������� ���� ����������.

��������� ������ 5.4. ���������� �� ��������� ������� 4.1, ������� �������� �������� ������� ��������� � ��������� ���������� �������� �����. ������� ���� ����������.

��������� ������ 5.5. ������� ���������, �� �� �������� ���������� ������ ����������, �� � �� ������ qhc-������, qhp-������? ������� �� ���������.

��������� ³����, �� ������ ��������, �� � ������� ���������� ������� ���� ������������, ��������� NP-������ [6].

��������� �������� 5.7. �� � NP-������ ������ ���������� ���������� �������� ����� �� ��������� � ����� qh-�����? qh-�����?