� 6 ���������� � �������������� �����

 

����� Gr(V,E) - ����, k - ��������. ���������� k-�������������� ����� Gr(V,E) ���������� ������������� c: V�k, ���� �� ����-�� �� ������ ������� ������������. ����������� ������ ����� Gr ���������� ��������� �������� k, ��� ����� ���� ��������� k��������������. ���������� ����� ����� Gr ����������� c(Gr). ���� c(Gr)=k, �� ���� Gr ���������� k������������. ��������, �� c(Gr)=1 ��� � ����� ���, ���� E(Gr)=Æ.

³������, �� c(Gr)=2 ��� � ����� ���, ���� ������� ������ V(Gr) � 2-���������� ������� ������� E(Gr) ��� ����� �����.

���������� ���������� ����� ������ � ����� ���� �������������.

����� X � ������� ��������� �������, Á - ����� ��� �������� ������� X, k - ��������. ������� X ���������� k������������� ������� �쒿 Á, ���� ���� �������� X �� k ��������, ���� �� FËA ��� ����� ��������� FÎÁ � ����� ��������� A ��������. � ����������� ��������㳿 ������� X ��������� k������������� ������� �쒿 Á, ���� ���� k-������������� X, ���� �� ����� ��������� FÎÁ �� � ��������������. ����������, �� ��� Á �� ������ �������������� �������� � �������� ���������. ��� X ��������� |X|������������� ������� �쒿 Á. ��������� �������� k, ��� ����� ������� X ��������� k������������� ������� �쒿 Á, ���������� ���������� ������������� X ������� Á.

����� �����, ���������� ����� ����� Gr � �� �������� ������������� ������� ���� ������ ������� �쒿 ���� �����.

��������� ������������ x1,x2,�,xn, n³3 ����� ������ ����� Gr(V,E) ���������� ������, ����

(x1,x2)ÎE, (x2,x3)ÎE,�,(xn-1,xn)ÎE, (x1,xn)ÎE.

��������� ���� ���������� ������ (��������), ���� ����� n ����� (�������).

��������� ������ 6.1. �������, �� ���������� ����� ������� ����� ������� 2, � ��������� � 3.

��������� ������� 6.1. ���������� ����� ����� Gr(V,E) ������� 2 ��� � ����� ���, ���� E¹Æ � ���� �� �� �������� �����.

���������. ������������ ������� �� ������ 6.1. ��� ��������� ���������� ����� �������, �� ���� Gr(V,E) ��'����� � |V|³ 2. ��������� �������� ����� Tr(V,E') ����� Gr(V,E), E'ÍE. ³������ ������� ������� xÎV � ��������� c(x)=0. ��� ����� ������� y ÎV ��������� c(y)=0 (c(y)=1) ��� � ����� ���, ���� ������� �� x �� y � ����� Tr(V,E') ����� (�������). ����� �����, ��������� ����� ������������� c: V�{0,1}. ³������ ������� ����� (y,z)ÎE. ���� (y,z)ÎE', �� c(y)¹c(z) �� ���������� ����������� c. ����������, �� (y,z)ÏE'. ��� ���������� ������� vÎV, ���� �� ����� ������� y,z,v ��������� ������ ����

v1,v2,�,vn,vn+1,�,vm

�� v1=v, vn=y, vn+1=z, (vm,v)ÎE. ������� ����� m �����, �� c(y)¹c(z).

��������� �������������� k-����������� ������ ��� k³3 �������. ������ ����, ���������� ����������� ����� ������ ��������� ����� ������ ���� ��������� ������ ������ ���������. � ����� ��'���� ��������� ��������� �������� �������� ����. �� ���������� ���� �������� ������������ ����� ����� ����� ������� ���� ���������.

��������� ��������� ����� r (x) ��������� ������ ������� x ����� Gr(V,E) � ��������� r (Gr)= sup {r (x): xÎV}.

��������� ������� 6.2. ���� ����� r (Gr) ��������, �� c (Gr)£ r (Gr)+1.

��������� ���������. �������� ����������, �� ���� Gr(V,E) ��������� � ��������� �������� �� ����� ���� ������. ��� |V|=1 ���������� ��������. ���������� �������� ��������� ���� Gr(V,E), |V|>1 � ��������� ����� ���� ������� x. �������� � ����� Gr(V,E) ������� x � �� ����� (x,y1), (x,y2),�,(x,ym), �� �������� � ���� �������. ��������� ���� ��������� Gr'(V',E'). ������� r (Gr') £ r (Gr) � |V'|<|V|, �� �� ����������� �������� ���� ����������� c: V'�{1,2,�,r(Gr)+1}, ���� �� c(y)¹c(z) ��� ������� ����� (y,z)ÎE'. ������� m<r(Gr)+1, �� �������� �����

iÎ{1,2,�,r(Gr)+1}\{c(y1),c(y2),�,c(ym)}

� ��������� c(x)=i.

��������� ��� ��������� ���������� ������� �� ���������� ����� ����� ������������ ��������� ����������� [20, p. 13].

��������� ������ 6.2. �������, �� c (Gr)£ r (Gr), ���� r (Gr) - ����������� ��������.

��������� ������� 6.2. �� ������ ����� ������ ������������ ����� �� �����, �� �������� ������� ������ ��������� �������. ���� � ���� �� �������, �������� ������� ������ ����� ���� �����������, �� �� ������ ������ ��������. ��������� �� ��� ��� ����, ���������� ����� ��� £ 2. � ������� ��������� ������ ����� ������ �� �������� �������.

��������� ������� 6.3. ����� Gr(V,E) - ��������� ����, V={v1,v2,�,vn}, r(v1)³r(v2)³ï¿½³r(vn).���

c(Gr) £

��������� ���������. ��������� c(v1)=1. ����������, �� ������� v1, v2,�, vi ���� ����������� � ������� {1,2,�,n(i)}, n(i)£ i. ���� i+1 £ 1+r(vi+1), ��������� c(vi+1)=n(i)+1. ���� i+1 > 1+r(vi+1), �������� ���� � ��������� ������� c, �� �� ����������� ����� ������� ������ {v1,v2,�,vi}, ������� � �������� vi+1, � ��������� c(vi+1)=c.

��������� ϳ�������� A ������� ������ ����� Gr(V,E) ���������� ����������, ���� ����-�� �� ������� x,yÎA ��������. ����� ����������� b(Gr) ���������� ����� Gr - �� ������� �������� � ��������� �� �������� ���������� ������� ����� �����.

��������� ������� 6.4. ��� ����-����� ���������� ����� Gr(V,E), |V|=n ���������� ������

n/b(Gr) £ c(Gr)£ n-b(Gr) +1.

��������� ���������. ����� c(Gr)=k. ��� ��������� k-������������� �� �������� ������� V �� k �������������� ����� V1,V2,�,Vk. ����, �� ����� � ��� ����� � ���������� ����������. �������

n=|V1|+|V2|+�+|Vk|£ kb(Gr),

�� c(Gr)³ n/b(Gr).

��������� ��� ��������� ������� ������ �������� ��������� ��������� SÍV, �� ������ b(Gr) ��������. ����� �������, �� c(Gr[V\S])³ c(Gr)-1. ������� |V\S|=n-b(Gr), �� c(Gr[V\S])£. n-b(Gr). ����� �������, ��

c(Gr)£c(Gr[V\S])+1£ n-b(Gr)+1.

��������� ��������� �������� ������-�������� ������������� ���������� �����, �� ��������� �� ������ ���� ������������ ����� ����� ������� ������ � ����� �����. � ����� ����� ��������� ������ ������� ���������� ������ � �������� ����������� ����� �� ����� � ������ ������ ������.

��������� ����� � ����� ��������� �� ����� ���������� ����������. ��� ������� v ����� Gr(V,E) ���������

S1(v)={xÎV: d(v,x)=1}, S2(v)={yÎV: d(v,y)=2}.

��������� ���������� ������ v1, v2 ����� - �� ������������ � ���� �����. �� ������� ����� ����������� ������� v1, v2 ����� � ���� ������������ �� ��� �������. �� ������� ����� ���������� ���� ������� v ÏV � ����������� ������� � ���� ��������� �� V\{v1,v2}, � ����� ���� ��������� ������� ������� v1, v2. � ��������� ���������� ����� ������ ���������� �� �������, � ����� ����� �� ������.

��������� ��������� ������������� ������� ������ ����� Gr � c(Gr) ������� ���������� ���������� ��������������. �� ������� ����� ����������� �����������, ���� ���� ��������� �������������, ��� ����� �� ������� ������������.

��������� ���� 6.1. ����� ���� Gr(V,E), ������� �� ������� �����, �� ��������� ���� ���� ���������� ������.

��������� ���������. ����� |V|=n. ����������, �� � ������� ����������� ������������� ����� ������ ���� ���� �������������� ������. ��� c(Gr)=n. ������� ���� Gr ��������, �� � ����� ���������� ���� v1, v2 ��������� ������. ������ �� ������� � �������� ���� Gr' � |V(Gr')|=n-1. �������� � ����� ������� v, � ��� ���� ������ ������� v1, v2. �������� �� ������� � ��������� �� � ���� ������� v. �������� ��������� ������������� ����� Gr � n-1 �������, �� ���������� ���������� c(Gr)=n.

��������� ���� 6.2. ���� ���� Gr' �������� � ����� Gr ����������� ���� ���������� ������, �� c(Gr')=c(Gr).

��������� ���������. ��������� c(Gr')£ c(Gr) ��������. ��������� c(Gr)£ c(Gr') ����, ���� ���������� ������� ���� ��������� ������.

��������� ���� 6.3 ��� ����-����� ����� Gr � ����������� ������ k ���� ������������ �������� ��������� ������, �� ��������� �� ������� ����� � k ���������.

���������. � ����� Gr ��������� ���� ���������� ������ � �������� ��. �� ����� 6.2 ���������� ����� ��� ����� �� ���������. �� ����� 6.1 ��� ���������� ����� ������ ����, ���� �� �������� ������ ����.

��������� ���� 6.4. ���� v - ������� ����� Gr(V,E) � ������� S2(v) ���������, �� ���������� ������� uÎS2(v) , ��������� � �������� v.

��������� ���������. ��������� ����� ��������� ������������� ����� Gr. ����� ��� ����� ������� v ����������� �������� a. ���� ����� ������� � S2(v) ��� ������� a, ���� ��������. ����������, �� � ������� S2(v)� ���� ������ ������� a. ³������ ������� ������� uÎS2(v), ����������� �������� b, b¹a. ���������� ��� �������.

��������� ���� � S1(v) ���� ������ ������� b, �� ����������� ������� v �������� b.

��������� ����������, �� ������� R ��� ������ �� S1(v) ������� b ���������. ����������� �� ������� �������� a, � ������� v - �������� b.

��������� �������� ������-�������� ���������� � ���� ����� - ������� � ���������. ���������� �� ���� 6.4 �������� ���� ������, ������� �� ����� ������� 2, � ������ ��. ����� � ����� 6.3 ������� ���������� ��������� ������� �����. ���������� ���� ������� ������ ��������� � ���������� �������� ��������� ������������� ����������� �����. ��� ������� ����� ����������� ���������� ������ �� ������������� ���������. � ���������� ������� �������� ��������� �������������, ��������� �� �����������.

��������� ��������� �������� ������-�������� ��� ������ ������������ �����. ��������� ����� [x] � {x} ���� �� ������ ������� ����� x.

��������� ������� 6.5. ��� ��������� ��'������ ����� Gr(V,E), |V|=n, |E|=m ���������� ��� ������

(i)                c (Gr)£ ;

(ii)              c (Gr)³ .

��������� ���������. �������� �������� ������ ������ (�). ���� ���� Gr ��������, �� �� ����� 6.4 � ����� ���������� ���� ���������� ������, ������� �� ����� ������� 2. ������ �� � �� ����� 6.2 �������� ���� � ��� ����� ����������� ������. ���������, �� ����� ������ ����� ����� ����� �� �������, � ����� ����� ����� ��������� �� �������. ���������� �� ��������� s<n ����, �������� ������ ���� Grs , ��� �����

|V(Grs )|=c (Grs )=c (Gr)=n-s

��������� ��������� ����� Gr0 , Gr1,�,Grs , Gr0=Gr� ������������ ������, �� �'������� � ��������� �������� ���������. ������ ���� Grs �� c (Gr)(c (Gr)-1)/2� �����. �� ����� �� m-c (Gr)(c (Gr)-1)/2� �����, ��� ����� ����� ����� Gr. ������� �� ������� ����� ���� Gri� �� ��������� �� ���� ����� �����, ��� ���� Gri-1, ��

m-c (Gr)(c (Gr)-1)/2 ³ s.

��������� ����� �����, ���� ���������

m-c (Gr)(c (Gr)-1)/2 ³ n-c (Gr).

����'����� �� ��������� ������� c (Gr) � ��������

c (Gr)£ (3+/2.

��������� �������� ����� ������ (��). ��������� c (Gr)=k. ������� �������� ������ (vq,vp) � ����� Gr ����-��� ������������ ���� ��������� ������, � ����� �� ���� (vq,vq). ��������, �� ������� �������� ����� ������� n2 -2m. ��������� ����� ��������� ������������� ����� Gr. ����� Xi - ������� ��� ������ ������� i, ni=|Xi|, iÎ{1,2,�,k}. ������� �� ������� ������� Xi ������� ��������, �� �������� ����� �������� �����, ��������� ���� ��������� � Xi , ������� ni2. ����� ������� ���������

�£ï¿½ n2 -2m

(1)

�� ��������� �����

�= n.

(2)

��������� �������� ������ p �������� F= �� ����� (2) �� ������� ����� �����. ��� ����� ���������

 

ni = [n/k]+yi,� l=n-[n/k]k,

 

(3)

�� n/k - �������� ni, �� ������ ������� F �� ����� (2) �� ������� ������������ �����. ��������, ��

�= l,� 0£ l£ k.

(4)

��������� ����� ��������, �� ����������� ������� ������� F �� ����� (2) ��������� �� ����������� ������� ������� ��� ����� (4). ��� ������ ����������, ���������, ���

y1=y2=�=yk-l=0,� yk-l+1=�=yk=1.

��������� ����� �������, ��

 

p=n2/k+k(n/k-[n/k])(1+[n/k]-n/k),

 

(5)

�� n2/k - ������ ������� F �� ������� ������������ �����. ����, ��������� (1) ����� ���������� � ������ ������

 

k2(n/k-[n/k])(1+[n/k]-n/k)£ (n2-2m)k-n2

 

(6)

��������� � ���� �������� �������, ��

 

c(Gr)³ -[-x0],

 

(7)

�� x0 - ����� �������

 

x2(n/x-[n/x])(1+[n/x]-n/x)£ (n2-2m)x-n2

 

(8)

�� ������ �� ������ �� 1 �� n.

��������� ���������� �������� ��� �� ����� ������ ������� (8), ����� ��������, �� [n/x0]=[n/x1], �� x1 - ����� �������

(n2-2m)x-n2=0.

��������� [n/x1] � ��������� ���� � (8). �������� ������ ������� ������� x, � ����� ���������

x0 =.

��������� ���������� (7), �������� ������ (��).

��������� ��������� ������� ������, �� ������ ������ (�) � ������ 6.5 � ������.

��������� ������� 6.1. �������� ��'����� ���� Gr � n ��������� � m �������, ��� ����� c(Gr)=l , ��

 

l=[(3+) � 2].

 

(9)

��������, �� ����� m ����� ��'������ ����� � n ��������� ����������� ��������

n-1£ï¿½ m£ï¿½ n(n-1)/2.

��������� ���������� (9) �������� ��������

l£ n,�� l(l-1) /2 £ m,� n- l £ m-l(l-1) /2 .

���� Gr ������ ���: �������� ������� ������� ������� ����� � l ��������� � �������� �� �� ������ � n-l ��������� � n-l� �������, � �����

m-l(l-1) /2 -(n-l)

����� ��������� �������� �����. ������� ���� Gr ������ ������ ���� � l ���������, ��� c(Gr)³ l . � �������� (�) �������, ��� c(Gr)£ l. ����, c(Gr)= l.

��������� ���������� �������� ���� Gr(V,E). ��������������� ����� ����� Gr(V,E) ���������� ��������� �������� k(Gr), ��� ����� ���� ������������� c: V� k(Gr), ���� �� � ������ ��� B(x,1), xÎV ���� ���� �������������� ������. ��������, �� r(Gr)+1£ k(Gr) £. |V|. �������� ��������� ���� Gr'(V,E'), �� E' - ������� ��� ��� ����� ������ �� V, ������� �� ����� � ����� Gr(V,E) �� �������� 2.

��������� ������ 6.3. �������, �� k(Gr)=c(Gr').

��������� ������ 6.4. �������, �� k(Gr)£ r (Gr)(r(Gr)-1)+1.

��������� ������ 6.5. ����� Grn - ���� � n ���������, n³3. �������, ��

k(Grn)=

��������� ������ 6.6. �������, �� k (Tr)=r (Tr)+1 ��� ������� ������ Tr.

��������� ������ 6.7. �������, �� ��������� ���� Gr ���������� ������� k ��������������� ��� � ����� ���, ���� k (Gr)=k+1.