� 6 ���������� �
�������������� �����
����� Gr(V,E) - ����, k - ��������. ���������� k-��������������
����� Gr(V,E) ����������
������������� c: V�k, ���� �� ����-��
�� ������ ������� ������������. ����������� ������ ����� Gr ���������� ��������� �������� k, ���
����� ���� ��������� k��������������. ���������� ����� ����� Gr
����������� c(Gr). ���� c(Gr)=k, �� ���� Gr ���������� k������������.
��������, �� c(Gr)=1 ��� � ����� ���, ���� E(Gr)=Æ.
³������,
�� c(Gr)=2 ��� � ����� ���, ���� ������� ������ V(Gr) �
2-���������� ������� ������� E(Gr) ���
����� �����.
����������
���������� ����� ������ � ����� ���� �������������.
����� X � ������� ��������� �������, Á - �����
��� �������� ������� X, k - ��������. ������� X ���������� k�������������
������� �쒿 Á, ���� ���� �������� X �� k ��������, ���� �� FËA ���
����� ��������� FÎÁ �
����� ��������� A ��������. � ����������� ��������㳿 ������� X
��������� k������������� ������� �쒿 Á, ����
���� k-�������������
X, ���� �� ����� ��������� FÎÁ �� �
��������������. ����������, �� ��� Á �� ������ �������������� �������� � �������� ���������. ��� X
��������� |X|�������������
������� �쒿 Á. ��������� �������� k, ��� ����� ������� X ��������� k�������������
������� �쒿 Á, ���������� ���������� ������������� X ������� Á.
�����
�����, ���������� ����� ����� Gr � �� �������� ������������� ������� ���� ������ �������
�쒿 ���� �����.
��������� ������������ x1,x2,�,xn,
n³3 �����
������ ����� Gr(V,E) ���������� ������, ����
(x1,x2)ÎE, (x2,x3)ÎE,�,(xn-1,xn)ÎE, (x1,xn)ÎE.
��������� ���� ���������� ������ (��������), ���� ����� n ����� (�������).
��������� ������ 6.1.
�������, �� ���������� ����� ������� ����� ������� 2, � ��������� � 3.
��������� ������� 6.1.
���������� ����� ����� Gr(V,E) ������� 2 ��� � ����� ���, ���� E¹Æ � ����
�� �� �������� �����.
���������. ������������ ������� �� ������ 6.1. ��� ��������� ���������� �����
�������, �� ���� Gr(V,E) ��'����� � |V|³ 2.
��������� �������� ����� Tr(V,E') ����� Gr(V,E), E'ÍE. ³������ ������� ������� xÎV �
��������� c(x)=0. ���
����� ������� y ÎV ��������� c(y)=0 (c(y)=1) ���
� ����� ���, ���� ������� �� x ��
y � ����� Tr(V,E') ����� (�������). ����� �����, ��������� ����� ������������� c: V�{0,1}.
³������ ������� ����� (y,z)ÎE. ���� (y,z)ÎE', �� c(y)¹c(z) �� ���������� ����������� c.
����������, �� (y,z)ÏE'. ��� ���������� ������� vÎV, ����
�� ����� ������� y,z,v ���������
������ ����
v1,v2,�,vn,vn+1,�,vm
�� v1=v, vn=y, vn+1=z, (vm,v)ÎE. ������� ����� m �����, �� c(y)¹c(z).
��������� �������������� k-�����������
������ ��� k³3 �������. ������ ����,
���������� ����������� ����� ������ ��������� ����� ������ ���� ���������
������ ������ ���������. � ����� ��'���� ��������� ��������� �������� ��������
����. �� ���������� ���� �������� ������������ ����� ����� ����� ������� ����
���������.
��������� ��������� ����� r (x)
��������� ������ ������� x ����� Gr(V,E) � ��������� r (Gr)= sup {r (x): xÎV}.
��������� ������� 6.2.
���� ����� r (Gr)
��������, �� c (Gr)£ r (Gr)+1.
��������� ���������.
�������� ����������, �� ���� Gr(V,E) ��������� � ��������� �������� �� ����� ����
������. ��� |V|=1 ����������
��������. ���������� �������� ��������� ���� Gr(V,E), |V|>1 � ��������� ����� ���� ������� x.
�������� � ����� Gr(V,E) ������� x � �� ����� (x,y1), (x,y2),�,(x,ym),
�� �������� � ���� �������. ��������� ���� ��������� Gr'(V',E'). ������� r (Gr') £ r (Gr) � |V'|<|V|, �� �� ����������� ��������
���� ����������� c: V'�{1,2,�,r(Gr)+1}, ���� �� c(y)¹c(z) ���
������� ����� (y,z)ÎE'. ������� m<r(Gr)+1, �� �������� �����
iÎ{1,2,�,r(Gr)+1}\{c(y1),c(y2),�,c(ym)}
� ��������� c(x)=i.
��������� ��� ��������� ���������� ������� �� ���������� ����� �����
������������ ��������� ����������� [20, p. 13].
��������� ������ 6.2.
�������, �� c (Gr)£ r (Gr), ���� r (Gr) - ����������� ��������.
��������� ������� 6.2. �� ������ ����� ������ ������������ ����� ��
�����, �� �������� ������� ������ ��������� �������. ���� � ���� �� �������,
�������� ������� ������ ����� ���� �����������, �� �� ������ ������
��������. ��������� �� ��� ��� ����, ���������� ����� ��� £ 2. � ������� ��������� ������
����� ������ �� �������� �������.
��������� ������� 6.3.
����� Gr(V,E)
- ��������� ����, V={v1,v2,�,vn},
r(v1)³r(v2)³ï¿½³r(vn).���
c(Gr) £
��������� ���������. ���������
c(v1)=1.
����������, �� ������� v1,
v2,�, vi ����
����������� � ������� {1,2,�,n(i)}, n(i)£ i. ���� i+1 £ 1+r(vi+1),
��������� c(vi+1)=n(i)+1. ���� i+1 > 1+r(vi+1), �������� ���� � ���������
������� c, �� �� ����������� �����
������� ������ {v1,v2,�,vi},
������� � �������� vi+1,
� ��������� c(vi+1)=c.
��������� ϳ�������� A
������� ������ ����� Gr(V,E) ���������� ����������, ���� ����-�� �� ������� x,yÎA
��������. ����� ����������� b(Gr)
���������� ����� Gr - �� �������
�������� � ��������� �� �������� ���������� ������� ����� �����.
��������� ������� 6.4. ���
����-����� ���������� ����� Gr(V,E), |V|=n ���������� ������
n/b(Gr) £ c(Gr)£ n-b(Gr) +1.
��������� ���������. �����
c(Gr)=k. ��� ��������� k-������������� �� �������� ������� V �� k
�������������� ����� V1,V2,�,Vk.
����, �� ����� � ��� ����� � ���������� ����������. �������
n=|V1|+|V2|+�+|Vk|£ kb(Gr),
�� c(Gr)³ n/b(Gr).
��������� ��� ��������� ������� ������ �������� ��������� ���������
SÍV, ��
������ b(Gr)
��������. ����� �������, �� c(Gr[V\S])³ c(Gr)-1.
������� |V\S|=n-b(Gr), �� c(Gr[V\S])£. n-b(Gr). �����
�������, ��
c(Gr)£c(Gr[V\S])+1£ n-b(Gr)+1.
��������� ��������� �������� ������-�������� �������������
���������� �����, �� ��������� �� ������ ���� ������������ ����� �����
������� ������ � ����� �����. � ����� ����� ��������� ������ ������� ����������
������ � �������� ����������� ����� �� ����� � ������ ������ ������.
��������� ����� � ����� ��������� �� ����� ���������� ����������.
��� ������� v ����� Gr(V,E) ���������
S1(v)={xÎV: d(v,x)=1}, S2(v)={yÎV: d(v,y)=2}.
��������� ���������� ������ v1,
v2 ����� - �� ������������ � ���� �����. �� ������� �����
����������� ������� v1, v2
����� � ���� ������������ �� ��� �������. �� ������� ����� ���������� ����
������� v ÏV �
����������� ������� � ���� ��������� �� V\{v1,v2},
� ����� ���� ��������� ������� ������� v1,
v2. � ��������� ���������� ����� ������ ���������� �� �������,
� ����� ����� �� ������.
��������� ��������� ������������� ������� ������ ����� Gr � c(Gr)
������� ���������� ���������� ��������������. �� ������� ����� �����������
�����������, ���� ���� ��������� �������������, ��� ����� �� �������
������������.
��������� ���� 6.1. �����
���� Gr(V,E), ������� �� ������� �����, �� ��������� ���� ���� ���������� ������.
��������� ���������. �����
|V|=n. ����������, �� � �������
����������� ������������� ����� ������ ���� ���� �������������� ������. ���
c(Gr)=n. ������� ���� Gr
��������, �� � ����� ���������� ���� v1,
v2 ��������� ������. ������ �� ������� � �������� ���� Gr' � |V(Gr')|=n-1. �������� � ����� ������� v, � ��� ���� ������ ������� v1,
v2. �������� �� ������� � ��������� �� � ���� ������� v. �������� ��������� �������������
����� Gr � n-1 �������, �� ���������� ���������� c(Gr)=n.
��������� ���� 6.2. ����
���� Gr' �������� � ����� Gr ����������� ���� ���������� ������, �� c(Gr')=c(Gr).
��������� ���������. ���������
c(Gr')£ c(Gr) ��������. ��������� c(Gr)£ c(Gr') ����, ���� ����������
������� ���� ��������� ������.
��������� ���� 6.3 ���
����-����� ����� Gr � �����������
������ k ���� ������������ ��������
��������� ������, �� ��������� �� ������� ����� � k ���������.
���������. � ����� Gr ��������� ����
���������� ������ � �������� ��. �� ����� 6.2 ���������� ����� ��� ����� ��
���������. �� ����� 6.1 ��� ���������� ����� ������ ����, ���� �� ��������
������ ����.
��������� ���� 6.4. ���� v - ������� ����� Gr(V,E) � ������� S2(v)
���������, �� ���������� ������� uÎS2(v) ,
��������� � �������� v.
��������� ���������.
��������� ����� ��������� ������������� ����� Gr. ����� ��� ����� ������� v
����������� �������� a. ���� ����� ������� � S2(v)
��� ������� a, ���� ��������. ����������, �� � ������� S2(v)� ����
������ ������� a. ³������ ������� ������� uÎS2(v),
����������� �������� b, b¹a.
���������� ��� �������.
��������� ���� � S1(v)
���� ������ ������� b, �� ����������� ������� v
�������� b.
��������� ����������, �� ������� R
��� ������ �� S1(v)
������� b ���������. ����������� �� ������� �������� a, � ������� v - �������� b.
��������� �������� ������-�������� ���������� � ���� ����� -
������� � ���������. ���������� �� ���� 6.4 �������� ���� ������, ������� ��
����� ������� 2, � ������ ��. ����� � ����� 6.3 ������� ����������
��������� ������� �����. ���������� ���� ������� ������ ��������� �
���������� �������� ��������� ������������� ����������� �����. ��� �������
����� ����������� ���������� ������ �� ������������� ���������. � ����������
������� �������� ��������� �������������, ��������� �� �����������.
��������� ��������� �������� ������-�������� ��� ������ ������������
�����. ��������� ����� [x] � {x} ���� �� ������ ������� ����� x.
��������� �������
6.5. ��� ��������� ��'������ ����� Gr(V,E), |V|=n, |E|=m ���������� ��� ������
(i)
c (Gr)£ ;
(ii)
c (Gr)³ .
��������� ���������.
�������� �������� ������ ������ (�). ���� ���� Gr ��������, �� �� ����� 6.4 � ����� ���������� ���� ����������
������, ������� �� ����� ������� 2. ������ �� � �� ����� 6.2 �������� ����
� ��� ����� ����������� ������. ���������, �� ����� ������ ����� ����� ����� ��
�������, � ����� ����� ����� ��������� �� �������. ���������� �� ��������� s<n ����, �������� ������ ���� Grs , ��� �����
|V(Grs )|=c (Grs )=c (Gr)=n-s
��������� ��������� ����� Gr0
, Gr1,�,Grs , Gr0=Gr� ������������ ������, �� �'������� � ��������� �������� ���������. ������ ���� Grs �� c (Gr)(c (Gr)-1)/2� �����. �� ����� �� m-c (Gr)(c (Gr)-1)/2� �����, ��� ����� ����� ����� Gr.
������� �� ������� ����� ���� Gri� �� ��������� �� ���� ����� �����,
��� ���� Gri-1, ��
m-c (Gr)(c (Gr)-1)/2 ³ s.
��������� ����� �����, ���� ���������
m-c (Gr)(c (Gr)-1)/2 ³ n-c (Gr).
����'����� �� ���������
������� c (Gr) �
��������
c (Gr)£ (3+/2.
��������� �������� ����� ������ (��). ��������� c (Gr)=k. ������� �������� ������ (vq,vp) � ����� Gr ����-��� ������������ ���� ���������
������, � ����� �� ���� (vq,vq).
��������, �� ������� �������� ����� ������� n2 -2m.
��������� ����� ��������� ������������� ����� Gr. ����� Xi -
������� ��� ������ ������� i, ni=|Xi|, iÎ{1,2,�,k}. ������� �� �������
������� Xi �������
��������, �� �������� ����� �������� �����, ��������� ���� ��������� � Xi , ������� ni2. �����
������� ���������
|
(1) |
�� ��������� �����
|
(2) |
��������� �������� ������ p
�������� F= �� ����� (2) �� ������� ����� �����. ��� ����� ���������
ni = [n/k]+yi,� l=n-[n/k]k, |
(3) |
�� n/k - �������� ni,
�� ������ ������� F �� ����� (2)
�� ������� ������������ �����. ��������, ��
|
(4) |
��������� ����� ��������, �� ����������� ������� ������� F �� ����� (2) ��������� �� �����������
������� ������� ��� ����� (4). ���
������ ����������, ���������, ���
y1=y2=�=yk-l=0,� yk-l+1=�=yk=1.
��������� ����� �������, ��
p=n2/k+k(n/k-[n/k])(1+[n/k]-n/k), |
(5) |
�� n2/k - ������ ������� F �� ������� ������������ �����. ����, ��������� (1) �����
���������� � ������ ������
k2(n/k-[n/k])(1+[n/k]-n/k)£ (n2-2m)k-n2 |
(6) |
��������� � ���� �������� �������, ��
c(Gr)³ -[-x0], |
(7) |
�� x0 - ����� �������
x2(n/x-[n/x])(1+[n/x]-n/x)£ (n2-2m)x-n2 |
(8) |
�� ������ �� ������
�� 1 �� n.
��������� ���������� �������� ��� �� ����� ������ ������� (8),
����� ��������, �� [n/x0]=[n/x1],
�� x1 - �����
�������
(n2-2m)x-n2=0.
��������� [n/x1] � ��������� ���� �
(8). �������� ������ ������� ������� x,
� ����� ���������
x0 =.
��������� ���������� (7), �������� ������ (��).
��������� ��������� ������� ������, �� ������ ������ (�) � ������
6.5 � ������.
��������� ������� 6.1.
�������� ��'����� ���� Gr � n ��������� � m �������, ��� ����� c(Gr)=l , ��
l=[(3+ |
(9) |
��������,
�� ����� m ����� ��'������ ����� � n ��������� ����������� ��������
n-1£ï¿½ m£ï¿½ n(n-1)/2.
��������� ���������� (9) �������� ��������
l£ n,�� l(l-1) /2 £ m,� n- l £ m-l(l-1) /2 .
���� Gr ������ ���: �������� �������
������� ������� ����� � l ��������� � �������� �� �� ������ � n-l
��������� � n-l� �������, � �����
m-l(l-1) /2 -(n-l)
����� ���������
�������� �����. ������� ���� Gr
������ ������ ���� � l ���������, ��� c(Gr)³ l . � �������� (�) �������,
��� c(Gr)£ l. ����, c(Gr)= l.
��������� ���������� �������� ���� Gr(V,E). ��������������� ����� ����� Gr(V,E) ���������� ��������� �������� k(Gr), ��� ����� ���� ������������� c: V� k(Gr), ���� �� � ������ ��� B(x,1), xÎV ����
���� �������������� ������. ��������, �� r(Gr)+1£ k(Gr) £. |V|.
�������� ��������� ���� Gr'(V,E'),
�� E' - ������� ��� ��� �����
������ �� V, ������� �� ����� �
����� Gr(V,E) �� �������� 2.
��������� ������ 6.3.
�������, �� k(Gr)=c(Gr').
��������� ������ 6.4.
�������, �� k(Gr)£ r (Gr)(r(Gr)-1)+1.
��������� ������ 6.5.
����� Grn - ���� � n ���������, n³3.
�������, ��
k(Grn)=
��������� ������ 6.6.
�������, �� k (Tr)=r (Tr)+1 ��� ������� ������ Tr.
��������� ������ 6.7.
�������, �� ��������� ���� Gr
���������� ������� k
��������������� ��� � ����� ���, ���� k
(Gr)=k+1.